分岐図 (力学系)

分岐図（ぶんきず、bifurcation diagram）

力学系理論において、系の振る舞いは時間と共にどのように変化するかに着目します。この振る舞いは、系に含まれる様々なパラメータの値によって大きく左右されることがあります。パラメータが連続的に変化するにつれて、系の定常状態や周期的振動といった質的な性質が劇的に変わることがあります。このような振る舞いの質的な変化点を「分岐」と呼びます。

分岐図は、このパラメータの変化に伴う系の分岐の様子を視覚的に捉えるための強力なツールです。具体的には、パラメータと、そのパラメータ値に対応する系の「不変集合」の関係をグラフとして表現したものです。不変集合とは、時間が経過しても系がその中にとどまる状態の集合であり、固定点（時間が経っても状態が変化しない点）や周期点（一定時間ごとに元の状態に戻る点）、あるいはより複雑なアトラクターなどがこれに含まれます。

最も基本的な形式である「1状態変数-1パラメータ」の力学系における分岐図では、横軸に系のパラメータ値を、縦軸に系の状態変数の値をプロットします。そして、各パラメータ値に対応する固定点や周期点の位置を描画します。これらの点が時間的に安定であるか不安定であるかを示すために、慣習的に安定な点は実線で、不安定な点は破線で区別して描かれます。さらに、状態空間がどちらの方向に進むかを示す矢印が補助的に書き加えられることもあります。

パラメータが複数ある力学系の場合、分岐図の表現方法はより多様になります。例えば、2つのパラメータを持つ系では、横軸と縦軸にそれぞれのパラメータを割り当てた平面を考えます。この平面上で、パラメータの組み合わせによって系の振る舞い（例えば、安定な固定点が存在するか、周期振動が発生するか、カオス的になるかなど）がどのように質的に変化するかを示し、振る舞いの異なる領域を色分けするなどして図示します。

理論的な分岐図に対し、実際の数値計算によって近似的に描かれたものは特に「軌道図（orbit diagram）」と呼ばれることがあります。単に分岐図と呼ぶ場合でも、数値計算によって描かれた軌道図を指すことも少なくありません。軌道図も横軸にパラメータを取りますが、縦軸には系の漸近的な軌道、すなわち十分時間が経過した後の状態変数の値をプロットします。非線形ダイナミクスの分野で非常に有名で象徴的な図として知られるロジスティック写像の軌道図は、この数値計算による軌道図の代表例です。

軌道図を作成する具体的な手順は、対象とする写像を fa（パラメータ a、状態変数 x）とした場合、以下のようになります。まず、特定のパラメータ値 a を固定します。次に、任意の初期値 x0 から出発し、写像を多数回（例えば数百回や千回など）繰り返し適用します。最初の一定回数（例えば前半の半分程度）の反復結果は、初期値の選択による過渡的な影響が残っている可能性があるため無視します。その後の一連の反復で得られた状態変数の値を、固定したパラメータ値 a の縦軸上にすべてプロットします。この手順を、パラメータ a の値を少しずつ変えながら繰り返し行うことで、軌道図が描画されます。

軌道図によって近似的に描かれるのは、厳密には初期値 x0 から出発した軌道の時間無限大での極限集合、すなわち ω-極限集合 ω (x0) です。系の状態空間に複数の安定なアトラクターが存在する場合、初期値の選び方によっては、特定の初期値から到達可能なアトラクターしか軌道図に現れないことがあります。全ての可能な漸近的な振る舞いを捉えるためには、複数の初期値で計算を行うなどの工夫や試行錯誤が必要となる場合があります。

分岐図や軌道図は、パラメータの変化が力学系の長期的な振る舞いにいかに影響を与えるかを視覚的に把握する上で不可欠なツールであり、物理学、生物学、経済学など、様々な分野で系のダイナミクス解析に広く利用されています。

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