割り箸 (手遊びゲーム)

割り箸（わりばし）とは

「割り箸」は、主に2人以上で行われる伝統的な手遊びゲームです。プレイヤーは自身の両手の指を使い、相手の手を攻撃したり、自分の手の指を分け合ったりしながらゲームを進めます。最終的に相手プレイヤーのすべての手を無効化することを目指します。単純なルールでありながら、戦略的な要素を含み、ゲーム理論における組合せゲームの一種として解析も行われています。

基本的な遊び方（ロールオーバー）

ゲームの公式ルールは「ロールオーバー」と呼ばれます。最初に、各プレイヤーは両手でそれぞれ指を1本ずつ立てた状態（初期状態は[1111]と表記されることが多い）で開始します。最初のプレイヤーから順に、時計回りでターンが回ってきます。

自分のターンでは、「攻撃」か「分割」のいずれかのアクションを選択します。

1. 攻撃: 自分の「生きている手」（指が1本以上立っている手）の一つを選び、相手の生きている手のいずれかを軽く叩きます。攻撃された相手の手の指の本数は、攻撃に使った手の指の本数分だけ増えます。

2. 分割: 自分の両手を軽く打ち合わせることで、一方の手からもう一方の手へ指の本数を移動させます。これにより、自分の手の状態を変化させることができます。「分割」には、生きている手同士で指の本数を移動させる「転送」と、死んだ手を生き返らせる「分裂」があります。ただし、単に両手の指の本数を交換するような移動はできません。

手の状態と「死んだ手」

ゲーム中、手の指の本数が変化しますが、指の本数がちょうど5本になった手は「死んだ手」となり、その後のゲームでは使用できなくなります。死んだ手は、指をすべて閉じる（拳にする）か、プレイヤーの背後に隠すなどして表現します。

「ロールオーバー」ルールの特徴として、攻撃や分割の結果、手の指の本数が5本を超えた場合、その本数から5を差し引いた数がその手の新たな指の本数となります。例えば、指が4本の手が指2本の手を攻撃した場合、合計は6本になりますが、ロールオーバーによりその手は6-5=1本となります。

いずれかのプレイヤーの両手が死んだ手となった場合、そのプレイヤーはゲームから脱落します。最後に残ったプレイヤーが勝者となります。

ゲームの状態表現と解析

2人対戦の割り箸ゲームの状態は、4桁の数字コードで簡潔に表すことができます。例えば、[ABCD]のように表記され、AとBは現在のターンプレイヤーのそれぞれの手の指の本数（少ない方から先に）、CとDは相手プレイヤーのそれぞれの手の指の本数（少ない方から先に）を示します。このように正規化することで、ゲームの状態を明確に識別できます。

基本的なルール下でのゲームの長さや状態数についても解析が行われています。最短では5手で決着がつくゲーム展開も存在します。同じ状態を繰り返さないという条件での最長ゲームは9手であることが確認されています。状態数については、表記上は基数5の4桁の数として625通り考えられますが、機能的に異なる状態や、実際にゲーム中に到達可能な状態はこれより少なく、204個であることが分かっています。

戦略とゲームの終結

割り箸の基本的なルール（ロールオーバー）では、互いに最適な手を打ち続けた場合、ゲームが終了せずに同じ状態を繰り返すループに陥ることが知られています。このため、完璧なプレイヤー同士の対戦では勝敗が決しない可能性があります。しかし、少し先の展開を読むだけでも、負けを回避することは比較的容易です。

様々なバリエーション

割り箸には地域やプレイヤーによって様々なルール変更が存在します。主なものとして以下が挙げられます。

カットオフ: 指が5本を超えたら即座にその手は死ぬルール（ロールオーバーしない）。このルール下では先攻プレイヤーに必勝戦略が存在します。
自殺: 分割によって意図的に自分の手を殺せるルール。このルール下では後攻プレイヤーに必勝戦略が存在します。
メタ: 指の合計が5本を超えた場合、合計から5を引いた本数に分割できるルール。
サンズ: 初期状態を両プレイヤーが指4本ずつ([4444])とするルール。
逆形: 最初に両手が死んだプレイヤーが勝利となるルール。
半分: 分割が特定のパターン（偶数本の手を等分、奇数本の手を可能な限り等しく分ける）に限られるルール。このルール下では後攻必勝が示されています。

これらのバリエーションルールは、ゲームの戦略や勝敗の行方を大きく変化させます。

一般化と数学的側面

割り箸ゲームは、プレイヤー数p、各プレイヤーの手の数h、ロールオーバー量r（指がr本になったら死ぬ、またはrを超える場合にmod rする基準値）というパラメータを持つ(p, h, r)型のゲームとして一般化できます。この枠組みで考えると、ロールオーバー量rが1や2の場合、または各プレイヤーの手の数hが1の場合などは、ゲームが単純化（縮退）し、より簡単に解析できることが分かっています。多人数の場合の到達可能状態数なども数学的に研究されています。

シンプルながらも深い戦略と豊富なバリエーションを持つ割り箸ゲームは、手軽に楽しめる遊びでありながら、数学的な解析対象としても興味深い存在と言えるでしょう。

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