区分行列

区分行列：効率的な行列演算のためのブロック分割

線形代数において、行列をより小さな行列の集合で表現する方法として区分行列（くぶんぎょうれつ）、またはブロック行列 (block matrix) が用いられます。これは、大きな行列をいくつかの長方形のブロックに分割することで、計算を簡略化したり、行列の構造を明確に示したりする手法です。

区分行列の定義

区分行列は、複数の小行列（ブロック）を組み合わせた行列です。例えば、以下のような4×5行列を考えます。


[ 2 -1 5 -3 6 ]
[-1 4 1 1 3 ]
[ 8 1 -2 4 1 ]
[-4 2 6 9 1 ]


この行列は、以下の4つの小行列 A, B, C, D を用いて、次のようにブロックで表現できます。


A = [ 2 -1 5 ] B = [ -3 6 ]
[ -1 4 1 ] [ 1 3 ]
[ 8 1 -2 ] [ 4 1 ]

C = [ -4 2 6 ] D = [ 9 1 ]


これらを組み合わせた区分行列は、以下のように表せます。


[ A B ]
[ C D ]


一般的には、p行q列のブロックからなる区分行列は、以下のように表現されます。


[ A11 A12 ... A1q ]
[ A21 A22 ... A2q ]
[ ... ... ... ... ]
[ Ap1 Ap2 ... Apq ]


ここで、各 Aij は小行列であり、同じ行にあるブロックの行数は等しく、同じ列にあるブロックの列数も等しくなければなりません。

区分行列の積

2つの区分行列 A と B の積 AB を計算する場合も、各ブロックをまるで行列の成分のように扱うことができます。ただし、ブロックの行数と列数が積の定義を満たすように、AとBは適切に区分けされている必要があります。

例えば、Aが(l1,…,lp;m1,…,mq)型、Bが(m1,…,mq;n1,…,nr)型の区分行列である場合、積 AB は(l1,…,lp;n1,…,nr)型の区分行列となり、その各ブロック Cij は以下のように計算されます。


Cij = Σk=1~q ( Aik * Bkj )

対称区分けと行列式

正方行列 P が対称区分けされている場合とは、主対角線上のブロックがすべて正方行列であることを意味します。特に、主対角線より下のブロックがすべて零行列である場合、行列式は、主対角線上のブロックの行列式の積で表せます。つまり、




となります。この場合、P が正則であるための必要十分条件は、主対角線上のすべてのブロックが正則であることです。

2×2 区分行列の逆行列

2×2の区分行列 P = [A B; C D] の逆行列を求める方法も知られています。Aが正則行列でDが正方行列の場合、Pが正則であるための必要十分条件は、D - CA⁻¹B が正則であることであり、その逆行列は複雑な式で表されます。Dも正則な場合、またはCが零行列の場合には、より簡潔な式で表すことができます。これらの式は、線形代数の教科書などに詳しく記載されています。

まとめ

区分行列は、行列の計算を効率化し、行列の構造を理解する上で非常に有効なツールです。特に大規模な行列の演算においては、計算量を削減し、メモリ使用量を抑える上で大きな役割を果たします。この概念を理解することで、線形代数における問題解決能力が向上します。より詳細な内容については、線形代数の専門書を参照することをお勧めします。

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