協力ゲーム

協力ゲームの概要

協力ゲームは、ゲーム理論における特定のモデルであり、複数のプレイヤーが提携し相互に協力しながら行動することを通常の前提とします。一般にプレイヤーは、提携を組むことで得られる経済的利益を増加させようとします。そのためには、事前に交渉や合意が必要とされることが多いです。このような協力をゲーム理論的に分析する手法として、ナッシュプログラムが提唱されています。

数学的な定義

協力ゲームは、プレイヤーの集合をN、特性関数vによって定義されます。ここで、特性関数とは、全ての提携の利得を指定するものであり、通常、提携の集合Sに対して、特性関数の値ｖ(S)がプレイヤーが共有できる利益を表します。協力ゲームの特性としては、通常v(∅) = 0と仮定されており、これは何も参加していない場合の利得がゼロであると示しています。

また、コスト関数Cを用いることによって、提携ゲームの構造をコストゲームとして解析するアプローチもあります。その際、得られる利得の概念は、提携の参加者間のコスト負担に基づいて変化します。

双対性の理解

報酬ゲームにおける特性関数vを使った双対ゲームが存在し、これにより費用ゲームの特性を分析することができます。特性関数の双対は、全体の提携における利益の喪失としての解釈がされることが多く、特にこの双対性は多くの理論的性質を共有します。仮に、提携Sが大きくなれば、それに比例して得られる報酬も増加するという単調性が成り立ちます。

部分ゲームと特性関数の性質

提携ゲームが持つ特性は、特性関数の性質に基づいて強く影響を受けます。たとえば、優加法性や単調性、反応性など、特性関数が満たす側面は、ゲームの利得分配の枠組みを決定づけます。特に優加法性は、相互に異なる提携によって創出される利得が、単独の利得の合計以上に増すことを示しています。

単純ゲームは、1または0の利得しか持たない特殊な協力ゲームであり、利得が1となる提携を「勝利提携」、0となる提携を「敗北提携」として理解されます。ここでは、提携の成否について単調性、プロパー性、強さなどの性質による分析が行われます。

解の概念と配分

協力ゲームにおける主要な目的は、提携を結成した際の報酬をどのように分配するかを考えることです。解の概念には、効率性や個人合理性、対称性などの基本的性質が含まれ、これらの性質を満たすような配分が求められます。特にコアは、プレイヤー全体の利益を最大化し、どの提携も全体提携から抜け出して利得を増やす動機を無く資するような配分を示します。

具体例：企業の共同事業

協力ゲームの実例として、企業A、B、Cが共同事業を行う場合を考えます。それぞれの企業が提携したとき、特性関数vは以下のように定義されます。
v({A})=3,
v({B})=6,
v({C})=5,
v({A,B})=10,
v({A,C})=10,
v({B,C})=12,
v({A,B,C})=18。

この特性関数に基づき、各企業がどのように利得を分配するかを考えると、形成される提携によって実際にどのような経済的メリットが生じるかが示されます。したがって、協力ゲームの核心は、協力の利得を数理的に分析し、最適な解決策を導くことにあります。

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