原子間ポテンシャル

原子間ポテンシャル及びその応用

原子間ポテンシャル（Interatomic potential）は、与えられた原子の絶対的な位置や相対位置に基づいて、原子系全体のポテンシャルエネルギーを計算するための数式です。このポテンシャルは主に化学、分子物理学、材料物理学といった分野で重要視されており、分子動力学（MD）やその関連技術において、物質の凝集状態、熱膨張、弾性特性の理解とシミュレーションの基盤を提供します。

基本的な関数形

原子間ポテンシャルは、基本的には特定の原子位置に依存する関数、または複数の原子の組合せに基づく級数展開の形式を持ちます。この場合、系全体のポテンシャルエネルギー（VTOT）は、次のように表すことができます：

$$
V_{TOT} = \sum_{i}^{N} V_1(\mathbf{r}_i) + \sum_{i,j}^{N} V_2(\mathbf{r}_i, \mathbf{r}_j) + \sum_{i,j,k}^{N} V_3(\mathbf{r}_i, \mathbf{r}_j, \mathbf{r}_k) + \cdots
$$

ここで、$V_1$、$V_2$、$V_3$はそれぞれ一体項、二体項、三体項を表し、Nは系内の原子総数を示します。重要なのは、これらのポテンシャルが原子間の相互作用を反映している点です。

ポテンシャルの種別

原子間ポテンシャルは、タイプの異なるものが多く存在します。一般に、単純なペアポテンシャル（たとえばレナード-ジョーンズポテンシャル）や多体ポテンシャル（Stilinger-Weberポテンシャルなど）が広く使用されます。いずれのモデルも異なる物理的な意図や条件に基づいて設計されています。

ペアポテンシャル

最も基本的で広く利用されているペアポテンシャルの一つが、レナード-ジョーンズポテンシャルです。このポテンシャルは、特定の距離では強い引力を、逆に近接する距離では強力な斥力が働くことをモデル化しています。以下の数式で表されます：

$$
V_{LJ} = 4\varepsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6}\right]
$$

ここで、$\varepsilon$はポテンシャル井戸の深さ、$\sigma$はポテンシャルがゼロとなる距離を示します。このポテンシャルは貴ガスの分子間相互作用を正確に表現する際に特に効果的です。

多体ポテンシャル

多体ポテンシャルは、より複雑な相互作用を考慮するために開発されました。たとえば、Stilinger-Weberポテンシャルが代表的です。以下のように一体の二体項と三体項から成り立っており、このポテンシャルはシリコンなど特定の元素の特性を記述する際に用いられます。

$$
V_{TOT} = \sum_{i,j}^{N} V_2(r_{ij}) + \sum_{i,j,k}^{N} V_3(r_{ij}, r_{ik}, \theta_{ijk})
$$

ここで、三体項は結合の角度依存性を考慮に入れています。

力の計算

原子間に働く力は、全エネルギーを原子位置で微分することにより得られます。具体的には、次の式で表されるように、各原子が受ける力を求めることができます：

$$
\mathbf{F}_i = -
abla_{\mathbf{r}_i} V_{TOT}
$$

このようにして計算された力は、原子の運動や様々な物理現象を解析する上で基礎となります。

原子間ポテンシャルのフィッティング

原子間ポテンシャルは近似値であるため、実験データをもとにパラメータを調整する必要があります。単純なポテンシャルの場合は、結合距離や結合強度に基づき直接的にパラメータを決定できますが、多体ポテンシャルでは数十から数百の未知のパラメータが関与するため、より多くのデータが求められます。これにより、より高精度なモデリングが可能になります。

まとめ

原子間ポテンシャルは、物質の性質を理解し、様々なシミュレーションを行うための重要な基盤です。異なるポテンシャルモデルが存在する中で、それぞれの物理的背景に基づいた多様なアプローチが採用されています。このポテンシャルを用いることで、原子スケールの相互作用や過程を解明し、新たな材料の設計や応用への道を拓くことが期待されています。

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