双曲線関数

双曲線関数：三角関数との類似性と応用

双曲線関数は、三角関数と深い繋がりを持つ関数です。三角関数が単位円と関係しているように、双曲線関数は標準形の双曲線を用いて定義されます。この類似性により、双曲線関数は三角関数と同様の性質を示し、数々の応用が可能です。

双曲線関数の定義

双曲線関数は、指数関数 e^x を用いて以下のように定義されます。

双曲線正弦関数 (sinh x): (e^x - e^-x) / 2
双曲線余弦関数 (cosh x): (e^x + e^-x) / 2

これらに加え、三角関数との類似性から、双曲線正接関数 (tanh x = sinh x / cosh x)、双曲線余接関数 (coth x = 1 / tanh x)、双曲線正割関数 (sech x = 1 / cosh x)、双曲線余割関数 (csch x = 1 / sinh x) も定義されます。

双曲線と面積

三角関数は、単位円上の点の座標と、原点と点、そしてx軸上の点(1,0)を結ぶ線分と円弧で囲まれる面積を使って定義することができます。双曲線関数は、この概念を双曲線に拡張したものです。標準形の双曲線 x² - y² = 1 上の点と、x軸上の点 (1, 0) を取り、線分と双曲線で囲まれた面積が θ/2 である場合、その点の座標を (cosh θ, sinh θ) と定義します。ただし、この θ は三角関数における角度とは異なる概念です。

双曲線関数の性質

双曲線関数は、三角関数と同様に様々な性質を持っています。

基本性質: cosh²x - sinh²x = 1 という関係が成り立ちます。これは、点 (cosh x, sinh x) が双曲線 x² - y² = 1 上にあることを示しています。また、e^x = cosh x + sinh x、e^-x = cosh x - sinh x と分解できます。
加法定理: 三角関数と同様に、sinh(α ± β), cosh(α ± β), tanh(α ± β) を表す加法定理が成立します。
微分公式: 双曲線関数の微分は、sinh x の微分が cosh x、cosh x の微分が sinh x となるなど、簡単な規則に従います。
冪級数展開: テイラー展開やローラン展開を用いて、双曲線関数を無限級数で表すことができます。ベルヌーイ数やオイラー数などが展開式に現れます。
無限乗積展開: 双曲線関数は、無限乗積の形にも展開できます。

三角関数との関係

双曲線関数と三角関数は、複素数を用いることで、以下の関係式で結び付けられます。

sinh x = -i sin(ix)
cosh x = cos(ix)

これらの関係式は、指数関数表現や冪級数展開を用いて導き出すことができます。

逆双曲線関数

双曲線関数の逆関数である逆双曲線関数は、対数関数を使って表すことができます。例えば、逆双曲線正弦関数 (sinh⁻¹x) は log(x + √(x²+1)) となります。逆双曲線関数もまた、微分公式などが存在し、積分計算などに役立ちます。

双曲線関数の応用

双曲線関数は、物理学、工学、数学など様々な分野で応用されています。

カテナリー曲線: 重力下で吊り下げられた鎖やケーブルの形を表すカテナリー曲線は、cosh 関数で表現されます。
シグモイド関数、ロジスティック関数: 機械学習や統計学で用いられるシグモイド関数やロジスティック関数は、tanh 関数と密接に関連しています。
双曲線正割分布: 統計学において、双曲線正割分布は sech 関数を用いて定義されます。

このように、双曲線関数はその性質と三角関数との類似性から、数学、物理学、工学など幅広い分野で重要な役割を果たしています。

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