和差算

和差算の理解

和差算（わさざん）とは、複数の数の和と差を利用して元の数を求める算数の解法の一つです。この手法は、特に小学算数でよく見られる文章題として知られています。和差算は、連立方程式を用いることなく、簡単な計算で解を導き出すことができるため、学習の初期段階でも取り組みやすい内容です。

例題による理解

具体例

ある銭湯に2012人の入場者がいるとします。この中で、女性は男性より146人多いとすると、男性と女性の人数はどのように求まるでしょうか。この問題は、和差算を用いて解けます。

解法

和を「女子 + 男子 = 2012人」、差を「女子 - 男子 = 146人」と設定します。ここから、和と差をもとに以下の式が導かれます。

• - 和 + 差 = 女子 × 2
• - 和 - 差 = 男子 × 2

この式を使って、人数を求めます。

• - 男子の人数は、(2012 - 146) ÷ 2 = 933人
• - 女子の人数は、(2012 + 146) ÷ 2 = 1079人

したがって、銭湯には男子が933人、女子が1079人いると結論付けられます。

別解

別の解法として、女子の人数をxとした場合、男子の人数は2012 - xです。この関係から、x = 2012 - x + 146という式が成り立ち、これを解くことでx = 1079が得られます。よって、男子は2012 - 1079 = 933人となります。

一般公式

与えられた2つの数の和と差から、それぞれの数を求める一般的な公式は次の通りです。

• - 小さい方の数 = (和 - 差) ÷ 2
• - 大きい方の数 = (和 + 差) ÷ 2

証明

ここで、大きい数をx、小さい数をyとすると、和はx + y、差はx - yと表現できます。これを式にすると、和 + 差 = 2x、和 - 差 = 2yとなります。したがって、(和 + 差) ÷ 2 = x、(和 - 差) ÷ 2 = yが成り立ち、公式が証明されます。

応用問題

和差算の応用として、3組の数について考える問題も存在します。例えば、3つの数A, B, Cにおいて、AとBの和が15、BとCの和が18、CとAの和が17のとき、Aの値を求める方法などが挙げられます。

例題の解法

この場合、まず2つの数の和が15であり、BからAを引いた数が18 - 17 = 1であることがわかります。これを用いて、(15 - 1) ÷ 2 = 7と計算します。そして、3数の和は(15 + 18 + 17) ÷ 2 = 25だから、Aは25 - 18 = 7となります。別解では、Aを15 - B、Cを18 - Bと設定し、計算を通して数の関係を利用して解答を導出します。

和積算と積商算

和差算は、和積算や積商算とも連携しています。和積算では、2数の和と積から数を推し量ります。また、積商算は積と商を用いた問題であり、両者は和差算の考え方を活かして解くことができます。

こうした知識を踏まえ、算数の問題解決に役立ててください。

もう一度検索