固有振動

固有振動：様々な系における振動特性の解明

固有振動とは、物理系が外力なしで振動する際に現れる、特有の振動パターンです。それぞれの固有振動には固有振動数という、特有の振動の速さが対応します。本記事では、代表的な物理系における固有振動について、数式を用いて詳細に解説します。

1. ばね-質量系

質量mの物体が、ばね定数kのばねに繋がれ、摩擦のない水平面上を運動する場合を考えます。ばねの自然長からの変位をxとすると、フックの法則よりばねの力は-kxとなります。ニュートンの運動方程式より、物体の運動方程式は以下のように表せます。


m(d²x/dt²) = -kx


この2階線形微分方程式の一般解は、以下のようになります。


x(t) = Acos(ωt + φ)


ここで、Aは振幅、ωは固有角振動数、φは初期位相を表す定数です。固有角振動数は、ω = √(k/m) となります。このωを用いて、固有振動数はf = ω/(2π)で計算できます。

2. 単振り子

糸の長さℓ、質量mのおもりからなる単振り子を考えます。糸が鉛直線となす角度θが十分小さい場合、水平方向の変位をxとすると、おもりの運動方程式は以下のように近似できます。


m(d²x/dt²) = -(mg/ℓ)x


この式も2階線形微分方程式であり、一般解はばね-質量系と同様に、


x(t) = Acos(ωt + φ)


となります。ただし、この場合の固有角振動数は、ω = √(g/ℓ) となります。gは重力加速度です。

3. 弦の振動

線密度ρ、張力Tの弦の振動は、波動方程式で記述されます。


(∂²y/∂t²) = (T/ρ)(∂²y/∂x²)


ここで、y(x,t)は弦の変位です。この方程式の解は、変数分離法を用いて求めることができます。解は、以下の様な固有振動数のモードの重ね合わせで表せます。


y(x,t) = Σ[An sin(nπx/l) cos(ωnt + φn)]


ここで、Anとφnは定数、lは弦の長さ、ωn = nπv/l (v = √(T/ρ)) はn番目の固有角振動数です。nは自然数で、各nは弦の固有振動モードを表します。

4. 気柱の振動

気柱の振動も波動方程式で記述されます。空気の密度をρ、体積弾性率をKとすると、波動方程式は弦の振動と同様の形式となります。ただし、境界条件が異なります。

一端閉口、一端開口の管:

この場合、閉口端では変位が0、開口端では圧力が0という境界条件が適用されます。この条件を満たす解は、以下のようになります。


y(x,t) = Σ[An sin((2n-1)πx/(2l)) cos(ωnt + φn)]


ここで、ωn = (2n-1)πv/(2l) (v = √(K/ρ)) はn番目の固有角振動数です。

両端開口の管:

両端開口の場合、両端で圧力が0という境界条件が適用されます。解は以下のようになります。


y(x,t) = Σ[An cos(nπx/l) cos(ωnt + φn)]


ここで、ωn = nπv/l (v = √(K/ρ)) はn番目の固有角振動数です。

まとめ

本記事では、ばね-質量系、単振り子、弦、気柱の4つの代表的な物理系における固有振動について解説しました。それぞれの系で固有振動数や固有角振動数が異なり、その違いは系の物理的特性によって決まります。これらの固有振動の理解は、振動や波動現象を深く理解する上で不可欠です。

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