埋め込み境界法

埋め込み境界法とは

埋め込み境界法（Immersed Boundary Method）は、流体と弾性構造物や膜が相互作用する現象をコンピュータでシミュレーションするための数値解析手法です。この手法は、特に構造体の変形と流体の運動が複雑に絡み合う連成問題を扱う際に有効です。

特徴

埋め込み境界法の最大の特徴は、流体と構造物の表現方法にあります。流体は空間固定のオイラー座標系で、構造物は時間とともに移動・変形するラグランジュ座標系でそれぞれ記述されます。これにより、複雑な形状の構造物でも比較的容易に扱うことができ、流体と構造物の相互作用を効率的に計算することが可能です。

定式化

非圧縮性ニュートン流体を対象とする場合、ナビエ-ストークス方程式と連続の式は、構造体が流体に及ぼす力の密度 f(x, t) を用いて以下のように表されます。

math
\begin{aligned}
&\rho \left({\frac {\partial {u}({x},t)}{\partial {t}}}+{u}\cdot
abla {u}\right)=\mu \Delta u(x,t)-
abla p+f(x,t)\\
&
abla \cdot u=0
\end{aligned}


ここで、ρ は流体の密度、u は流速、μ は粘性係数、p は圧力です。

通常、流体中の構造物は相互作用する粒子の集まりで表現されます。j 番目の粒子の座標を Zⱼ 、粒子 j に作用する力を Fⱼ とすると、力の密度 f(x, t) は以下の式で表されます。

math
f(x,t)=\sum _{j=1}^{N}\delta _{a}(x-Z_{j})F_{j}


ここで、δₐ はディラックのデルタ関数を長さ a のスケールで平滑化した関数です。

一方、構造体の変形は、以下の式に基づいて行われます。

math
{\frac {dZ_{j}}{dt}}=\int \delta _{a}(x-Z_{j})u(x,t)dx


この式は、構造体を構成する粒子の速度が、その位置における流体の速度によって決定されることを示しています。

応用例

埋め込み境界法は、生体内の流体現象、例えば心臓弁の動きや血液の流れのシミュレーションに利用されています。また、工業分野では、マイクロ流路内の流体解析、柔軟な構造物と流体の相互作用の解析など、幅広い応用がされています。

メリットとデメリット

メリット:

複雑な形状の構造物を比較的容易に扱える
流体と構造物の連成問題を効率的に計算できる
様々な物理現象への応用が可能

デメリット:

構造物周辺の流体解析精度が、格子解像度に依存する
大規模な計算が必要となる場合がある

関連技術

ストークス動力学 (Stokesian dynamics): 粘性流体中の粒子の運動を解析する手法
チャールズ・S・ペスキン (Charles S. Peskin): 埋め込み境界法の創始者の一人

まとめ

埋め込み境界法は、流体と構造物の相互作用をシミュレーションするための強力なツールです。その柔軟性と応用範囲の広さから、今後も様々な分野で重要な役割を果たすことが期待されます。

参考資料

Advanced Simulation Library - オープンソースのマルチフィジックスシミュレーションソフトウェア
2D Uniform Mesh Immersed Boundary Method Implementation
3D Adaptive Mesh Immersed Boundary Method Implementation
* 3D Stochastic Immersed Boundary Method Implementation

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