外角定理

外角定理

定義と概要

外角定理（がいかくていり、英語: exterior angle theorem）は、平面幾何学における三角形の性質に関する重要な定理の一つです。この定理は、ユークリッド幾何学の体系内で証明される基本的な事実であり、三角形の角度の関係性を理解する上で不可欠な要素となります。

具体的には、三角形のいずれか一つの頂点における外角の大きさは、その外角に隣接しない他の二つの内角の大きさを合計したものと等しくなる、と主張します。外角とは、三角形の一辺を延長したときに、その延長線と三角形の隣り合う辺によって作られる角のことを指します。一つの頂点には二つの外角がありますが、これらは互いに等しい対頂角となります。

この定理は、三角形の内角の和が180度であるという性質や、直線によってできる角が180度であるという事実に基づいて導き出されます。様々な幾何学の問題を解く際や、他の定理を証明する際の基礎として広く用いられています。

定理の証明

外角定理は、以下のように簡単に証明することができます。

まず、任意の三角形ABCを考えます。そして、辺BCを点Cの方向にまっすぐ伸ばし、その延長線上に点Pをとります。このとき、角ACPが、角BCAに対する一つの外角となります。

証明は、幾何学における二つの基本的な性質を利用します。

1. 三角形の内角の和: 三角形の三つの内角（角CAB、角ABC、角BCA）の合計は常に180度です。式で表すと、
∠CAB + ∠ABC + ∠BCA = 180° …(1)

2. 直線によってできる角: 直線は180度をなします。点Cにおいて辺BCを延長してできた直線BPを考えると、角BCA（内角）と角ACP（外角）は直線上に並ぶ二つの角となり、それらの和は180度となります。式で表すと、
∠BCA + ∠ACP = 180° …(2)

上記(1)式から、∠BCA を単独で表すと、
∠BCA = 180° − (∠CAB + ∠ABC)

また、上記(2)式から、∠BCA を単独で表すと、
∠BCA = 180° − ∠ACP

これら二つの ∠BCA に関する式を等しいとおくと、
180° − (∠CAB + ∠ABC) = 180° − ∠ACP

この等式の両辺から 180° を引くと、
− (∠CAB + ∠ABC) = − ∠ACP

両辺に −1 をかけることで、目的の結論が得られます。

∠CAB + ∠ABC = ∠ACP

これは、外角 ∠ACP が、それに隣接しない二つの内角 ∠CAB と ∠ABC の和に等しいことを示しています。したがって、三角形の一つの外角は、それと隣り合わない二つの内角の和に等しいという定理が証明されました。

定理の意義と応用

外角定理は、一見単純に見えますが、様々な幾何学的な問題を解く上で非常に強力なツールとなります。例えば、三角形の未知の角を求める問題や、複数の三角形が組み合わされた複雑な図形における角度の関係性を導き出す際に役立ちます。また、平行線と transversal line（横断線）に関する定理など、他の重要な幾何学的事実を証明する際にも基礎として利用されることがあります。

この定理は、三角形の内角と外角の間に明確な量的関係を与えるものであり、図形の性質を定量的に扱う上で重要な位置を占めています。

関連項目

三角形
内角
外角
三角形の内角の和

外角定理は、これらの基本的な幾何学の概念と密接に関連しており、三角形の性質を深く理解するための出発点の一つと言えます。

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