完全性

数理論理学における「完全性」という概念は、密接に関連しながらも異なる二つの側面を持っています。それは、意味論的完全性と構文論的完全性です。

意味論的完全性

意味論的完全性とは、形式論理体系において「恒真である命題が必ず証明できる」という性質を指します。つまり、その体系で真であると認められるすべての命題が、その体系内の推論規則によって導き出せる、ということです。この意味での完全性は、論理体系が真理を捉える能力の高さを示します。例えば、一階述語論理はゲーデルの完全性定理によって、意味論的完全性を持つことが証明されています。

構文論的完全性

一方、構文論的完全性とは、形式論理体系における理論が「（その理論で用いている言語で表現可能な）どの命題についても、肯定または否定を証明できる」という性質を指します。これは、その理論が扱う範囲内のあらゆる命題に対して、真偽を決定できる能力がある、ということです。この意味での完全性は、理論の決定能力の高さを示します。例えば、ある理論が、ある命題が真であることも偽であることも証明できない場合、その理論は構文論的に完全ではありません。

完全性と不完全性定理

ゲーデルの完全性定理は、一階述語論理が意味論的完全性を持つことを示しました。しかし、ゲーデルのもう一つの重要な成果である不完全性定理は、自然数論に関するある理論が構文論的完全性を持たないことを示しました。さらに、この不完全性は、その理論を拡張しても（超越的な操作なしには）解消できないことも示されました。この定理は、形式的体系には、その体系内で真偽を決定できない命題が存在しうることを明らかにし、数学基礎論に大きな衝撃を与えました。

現在では、不完全性定理は、ペアノ算術(PA)などの自然数論の他の公理系や、自然数論以外の公理系についても証明されています。このことから、一定の性質を満たす公理系であれば、広く不完全性定理が成り立つと理解されています。つまり、多くの形式的な体系は、その体系自身で全ての真理を証明することができないという限界を持っているのです。

完全性の訳語と補足

「完全性」(completeness)という言葉は、数学の他の分野では「完備」と訳されることもあります。例えば、距離空間における完備性などがその例です。文脈によって適切な訳語を使い分ける必要があります。数理論理学における完全性は、体系がどれだけ矛盾なく、かつ網羅的に真理を捉えられるかという観点から、非常に重要な概念です。不完全性定理は、その完全性を追求する上で、避けて通れない限界を示しているといえるでしょう。

関連項目

* 完備 (曖昧さ回避) - complete, completeness は数学の他の分野では完備とも訳される。

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