定常流

定常流（ていじょうりゅう）

定常流とは、流体力学における流れの一つの理想的な状態を指します。具体的には、時間の経過に関わらず、流体内部の各点における物理的な状態が変化しない流れを定義します。ここでいう物理的な状態とは、主に流体の圧力、密度、そして流体の速さとその向きを示す速度ベクトルといった要素を指します。

定義と基本的な特徴

理想的な定常流においては、空間内の任意の固定された点を観測した場合、その点を通過する流体の粒子の速度、圧力、密度といった物理量は常に一定の値を示します。これは、これらの物理量が時間 $t$ に依存せず、空間内の位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ のみの関数として記述できることを意味します。すなわち、ある物理量 $\phi$ について、$\phi(\boldsymbol{r}, t) = \phi(\boldsymbol{r})$ と表現されます。

この性質から、定常流では流体の速度場 $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{r}, t)$ も時間的に変化しないため、$\boldsymbol{v}(\boldsymbol{r}, t) = \boldsymbol{v}(\boldsymbol{r})$ となります。これにより、流体の流れの筋道を示す流線（streamline）が時間によらず固定されます。各流線は、その上のどの点でも速度ベクトルがその流線に接するように描かれます。定常流においては、ある時刻に引かれた流線が、その後の時刻でも同じ場所を通過する流体粒子の軌跡（pathline）や流脈線（streakline）と一致するという特徴があります。

厳密性と実用上の定義

現実の多くの流れは、厳密には常に時間的な変動を伴います。例えば、乱流のような複雑な流れでは、流体の速度や圧力は常に不規則に変動しています。しかし、流体現象を解析する上で、このような瞬時の変動をすべて考慮することは困難な場合があります。

そこで、実用的な観点から、定常流をより広義に捉える場合があります。これは、流体の各要素が微視的には時間的に変動しているものの、十分な時間スケールで平均的に観測した際に、その平均値が時間によらず一定に保たれているような流れを定常流とみなす考え方です。例えば、平均速度や平均圧力が時間的に変化しない乱流は、「平均定常流」あるいは単に「定常流」として扱われることがあります。これは、現象の本質的な特性が時間的な平均によって捉えられる場合に有効なアプローチです。

ベルヌーイの定理との関係

定常流は、流体力学における重要な基本法則の一つであるベルヌーイの定理（Bernoulli's theorem）が成り立つための主要な条件の一つです。ベルヌーイの定理は、粘性のない（完全流体）で圧縮性のない流体の定常流において、流線に沿った点の間に成り立つエネルギー保存則のような関係を示します。

具体的には、重力の働く場における完全流体の定常流の任意の流線上の二点 A と B において、以下の関係が成り立ちます。

$P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 + \rho g h_A = P_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2 + \rho g h_B$

ここで、$P$ は圧力、$\rho$ は流体の密度、$v$ は流速、$g$ は重力加速度、$h$ は基準面からの高さです。この定理は、流体の流れに伴う圧力、速度、位置エネルギーの変化の関係を示し、流体機械の設計や流れの解析に広く応用されています。定常流という仮定があるからこそ、流線上の異なる点での物理量の関係が単純な形で表現されるのです。

非定常流との対比

定常流に対して、時間と共に流体の状態が変化する流れを非定常流（unsteady flow）と呼びます。例えば、蛇口をひねって水を出し始める瞬間や、脈動する血流、飛行機が通過した後の大気の流れなどは非定常流です。これらの流れでは、各点における速度や圧力などが時間的に変化するため、解析がより複雑になります。多くの実際の流れは非定常流ですが、現象を単純化したり、ある特定の時間スケールで捉えたりする場合には、定常流として近似して解析が行われることもあります。

まとめ

定常流は、流体の物理量が時間的に変化しない理想的な流れのモデルです。速度が位置のみに依存し、流線が固定されることが特徴です。厳密な意味での定常流は限られますが、時間平均的に状態が一定である流れも実用上は定常流として扱われることがあります。この概念は、完全流体におけるベルヌーイの定理の適用条件となるなど、流体力学の基礎として非常に重要です。非定常流との対比を通じて、その性質がより明確になります。

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