差集め算

差集め算について

差集め算（さあつめざん）は、算数における問題解決の一手法で、特に文章題において「単位あたりの差を利用して全体の量を求める」アプローチを指します。この方法は過不足算と密接な関係があり、実際に両者の問題の発展形はしばしばお互いに重なり合います。教育現場では、これらの手法を関連づけて教えることが有効ですが、初めの段階で個別に指導しても問題ありません。最終的には、どこかの段階で両者を結びつけると理解が深まります。

具体的な例題

差集め算を理解するために、以下の例題を見てみましょう。

問題: 家を朝7時に出発し、駅に行く際、毎分60メートルの速さで行くと電車の発車時刻に88分遅れ、毎分200メートルの速さで行くと発車時刻の3分前に到着するそうです。この場合、電車の発車時刻はいつか？また、家から駅までの距離は何キロメートルか？

解説

この問題を解くためには、まず二つの速さでの移動時間の比を求めます。毎分60メートルと200メートルの移動速度の逆比は次のようになります:

$$rac{1}{60} : rac{1}{200} = 10 : 3$$

ここで、それぞれの比を10と3と置きます。次に、二つの方法での移動時間の差を求めます。条件から、毎分60メートルで行った場合と200メートルで行った場合の所要時間の差は、88分と3分を足した91分です。これを式にすると:

$$10 - 3 = 91$$

この式を整理すると、所要時間の計算ができます。

$$1 = rac{91}{7} = 13 ext{ 分}$$

次に、実際の距離を求めます。毎分60メートルの速さで13分かかる距離は:

$$60 imes (13 imes 10) ext{ m} = 7800 ext{ m} = 7.8 ext{ km}$$

また、電車の発車時刻は、朝7時に130分を足した後、88分を引いた時刻になります。これを計算すると、朝7時42分となります。

答え

家から駅までの距離は7.8km、電車の発車時刻は朝7時42分です。

別の解法

別の解法として、両速さの最小公倍数を使う方法もあります。60mと200mの最小公倍数は600mです。これをもとに:

• - 毎分60mで進むと10分かかり、
• - 毎分200mでは3分かかります。

この場合、かかる時間の差は10分から3分を引いた7分になります。また、全体の条件を再度考え、所要時間の差が91分であることを確認すると:

$$91 ext{ (分) } ext{を } 7 ext{ (分) }で割った結果、13が得られます。$$

さらに、600メートルに対して同じ基準で計算すると、やはり家から駅までの距離が7800メートル、すなわち7.8キロメートルであることが明確になります。

結論

このように、差集め算は文章題を効率的に解くための有効な手段であり、過不足算と共に利用することで、より深い理解と応用力を養うことができます。

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