弱いゴールドバッハ予想

弱いゴールドバッハ予想とは

弱いゴールドバッハ予想とは、次のように定義される数論の予想です。「5より大きい奇数は3つの素数の和で表せる」とされており、ここでの素数は同じものを含んでも構いません。この予想が成立すれば、ゴールドバッハ予想が成り立つ場合が多く、逆に弱いゴールドバッハ予想だけが成立する場合もあるため「弱い」という言葉が付いています。

この予想の興味深い点は、大きな奇数になるほど、より多くの小さな素数が存在し、3つの組み合わせも増えることです。そのため、多くの数学者がこの予想は正しいと信じています。

証明の歴史

この予想がきちんと証明されたのは、2013年にハラルド・ヘルフゴットによって行われました。彼は弱いゴールドバッハ予想が正しいことを示す論文を発表し、その成果は広く受け入れられています。ただし、弱いゴールドバッハ予想が証明されたからといって、ゴールドバッハ予想が証明されるわけではありません。これらは別々の命題です。

具体的な例

具体例としては、以下のように小さな奇数を3つの素数の和で表すことができます。

• - 7 = 2 + 2 + 3
• - 9 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3
• - 11 = 2 + 2 + 7 = 3 + 3 + 5
• - 13 = 3 + 3 + 7 = 3 + 5 + 5
• - 15 = 2 + 2 + 11 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5
• - 17 = 2 + 2 + 13 = 3 + 3 + 11 = 5 + 5 + 7
• - 19 = 3 + 3 + 13 = 3 + 5 + 11 = 5 + 7 + 7
• - 21 = 2 + 2 + 17 = 3 + 5 + 13 = 5 + 5 + 11 = 7 + 7 + 7
• - 23 = 2 + 2 + 19 = 3 + 3 + 17 = 5 + 5 + 13 = 5 + 7 + 11

ただし、5以下の奇数は3つの素数の和では表現できません。例えば、「7より大きい奇数は3つの奇素数の和で表せる」という予想も存在しています。これは、ゴールドバッハの予想の「4より大きい偶数は2つの素数の和で表せる」という命題に似ています。

ゴールドバッハ予想との関係

ゴールドバッハ予想が正しいとすると、「4以上の偶数は2つの素数の和で表せる」ことが成り立ちます。このため、弱いゴールドバッハ予想が核となる仮定といえます。しかし、反対に弱いゴールドバッハ予想が成立する場合でも、強いゴールドバッハ予想が成立しない可能性があります。こうしたことから、弱いゴールドバッハ予想は強いゴールドバッハ予想の特別なケースとして考えられています。

最近の進展

1923年、数理統計学者のゴッドフレイ・ハーディとジョン・E・リトルウッドは、一般化されたリーマン予想に依存して、十分大きな奇数に対する弱いゴールドバッハ予想が成立することを示しました。この成果は、その後の数々の研究を促進することになりました。

1937年には、ヴィノグラードフが一般化されたリーマン予想に依存せずに、同様の結果を得ました。このとき、具体的には非常に大きな奇数（つまり3の冪数）に関する下限が示されました。

1995年、オリヴィエ・ラマレによる研究によって、すべての5以上の奇数は多くの素数の和として表現できることが示されました。また、2012年にはテレンス・タオが3以上のすべての奇数は5個の素数の和で表せると証明しました。

最後に、2013年にはハラルド・ヘルフゴットが、無条件で弱いゴールドバッハ予想を証明したと報告しました。このように、弱いゴールドバッハ予想は数々の数学者の永続的な探求の成果であり、これからも多くの研究が続くでしょう。

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