後退帰納法

後退帰納法（こうたいきのうほう、英語: Backward induction）は、一連の段階的な意思決定や複雑なゲームにおいて、最適な行動の順序を特定するために用いられる分析的な手法です。この手法の核心は、分析を問題の最終的な結末や最後の段階から開始し、時間的な流れを逆方向に辿るように思考を進める点にあります。最終段階での最適な状態や行動を起点として確定させ、その情報を用いてその直前の段階における最適な意思決定を導き出し、さらにその前の段階へと順次このプロセスを適用していくことで、問題の開始時点から終結時点に至るまでの一連の最適な行動経路を明らかにします。別名としては、後向き帰納法（うしろむききのうほう）や逆向き帰納法（ぎゃくむききのうほう）としても知られています。

考え方の根本

なぜ後退帰納法は、通常の時間の流れに逆らって「終わりから」分析を始めるのでしょうか。これは、多くの逐次的な問題において、将来の結果が現在の意思決定に大きく影響を与えるためです。現在ある行動を選択した場合、それが将来の状況をどのように変化させ、最終的にどのような結果をもたらすのかを予測する必要があります。後退帰納法では、まず最も遠い将来、すなわち問題の最終段階における結果や状態を確定的に考えることから始めます。最終段階の結果が明確になれば、その直前の段階における意思決定者は、自身の選択が最終的にどの結果につながるかを正確に理解できるようになり、その段階での自身の利益を最大化するための最適な行動を判断しやすくなります。この確定した「過去」（ここでは時間の逆方向ですが）の情報を用いて、さらにその前の段階での最適な行動を決定するというプロセスを繰り返すことで、問題全体の最適な行動系列を矛盾なく構築できるのです。

分析プロセスの詳細

後退帰納法を用いて問題を解く際の一般的な手順は以下の通りです。

1. 最終段階の特定と評価: まず、分析対象となる問題の終結点、すなわち最後のステップや最終結果が得られる状態を明確に定義し、その段階における価値や最適な状態を評価します。ゲームであれば最終的な利得、計画問題であれば最終的な到達目標などがこれにあたります。
2. 最終段階直前の最適行動の決定: 最終段階のちょうど一歩手前の段階に戻ります。この段階の意思決定者は、自分の行動が次に起こる最終段階にどのように影響し、それが最終結果にどう結びつくかを考慮します。最終段階で既に決定された最適な結果を前提として、この時点での自己にとって最も有利となる行動を選択します。
3. 段階的な遡りの継続: 上記のプロセスを、時間軸を逆行するように繰り返します。最終段階の二つ前の段階では、その次の段階（すなわち最終段階の直前）で既に決定された最適な行動と、それがもたらす結果を考慮に入れます。その上で、この現在の段階（最終段階の二つ前）での最適な行動を選択します。この手順を、問題の開始時点に到達するまで、順次前の段階へと適用していきます。
4. 最適な行動系列の構築: 問題の開始時点まで遡りが完了した時点で、各段階における最適な行動が全て明らかになっています。これらの最適な行動を、問題の開始時点から終結時点へと時系列順に並べることで、問題全体における最適な行動系列が決定されます。

「帰納法」と呼ばれる理由

この手法が「帰納法」と名付けられているのは、数学的帰納法の証明構造に類似しているためです。数学的帰納法では、基底ケース（例えばn=1）での成立を示し、任意のkでの成立を仮定してk+1での成立を示すことで、無限のケース（全ての自然数n）について証明を拡張します。後退帰納法も同様に、最も将来の段階（基底ケースに相当）での最適解を求め、その情報を用いてその直前の段階の最適解を導き出し、さらにその結果を用いてより過去の段階の最適解を順次決定していきます。このように、既に解決した「過去」（時間的に未来の段階）の最適解から、未解決の「現在」（時間的に過去の段階）の最適解を次々と導き出すプロセスが、広義の帰納的な推論構造を持っていると見なされるため、「帰納法」という言葉が用いられています。ただし、時間の流れに対しては「後退」する点が特徴的です。

適用されやすい問題構造

後退帰納法は、時間的なステップがあり、各段階での意思決定がその後の段階の状態や結果に影響を与えるような、逐次的・多段階的な構造を持つ問題に特に有効です。また、将来の結果がある程度予測可能であるか、あるいは計算によって確定できる場合に適用しやすい手法です。各時点での選択肢が有限であり、問題の終結点や最終的な評価基準が明確に定められる問題に対して特に威力を発揮します。

この手法の利点

後退帰納法を用いることの大きな利点は、複雑で相互に関連する多段階の意思決定問題を、より管理しやすく、解析しやすい一連の単純な部分問題に分解して解決できる点です。最終的な結果から逆算することで、将来の不確実性の一部を確定させ、各段階での最適な選択肢をより明確に判断できるようになります。これにより、全体の最適戦略を効率的に導き出すことが可能となります。

後退帰納法