循環 (流体力学)

流体力学における循環の概念

流体力学では、循環（じゅんかん、英: circulation）という重要な量が存在します。これは流体の速度をある閉曲線に沿って積算することで得られるもので、通常はギリシャ文字の Γ で表されます。循環は、特定の閉曲線で囲まれた領域の渦度積算量でもあり、渦運動の強度を示すために用いられます。特に、非粘性バロトロピック流体が保存外力の下で流れる場合、流れに沿った保存的性質を維持します。

循環の定義

循環 Γ は、対象となる閉曲線 C において、流体の速度ベクトル v と微小線要素ベクトル dl の内積を閉じた積分として次の数式で定義されます：

\[
\Gamma = \oint_C v \cdot dl
\]

ここで、閉曲線 C の周りでの流体の振る舞いを考察することができます。

循環と渦度の関係

循環は、ストークスの定理により、渦度と深いつながりがあります。この定理に基づくと、循環 Γ は次のように表すことができます：

\[
\Gamma = \oint_C v \cdot dl = \int_S (rot \, v) \cdot dS = \int_S \omega \cdot dS
\]

ここで、S は面積要素、ω は渦度であり、次のように定義されます：

\[
\omega =
abla \times v = rot \, v
\]

このように、循環は閉曲線 C を境界とする面積 S の中の流れの渦度と関連づけられることがわかります。

渦定理

流体の循環に関する主要な定理として、以下の三つが挙げられます。

1. ケルビンの渦定理：非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れでは、流体に沿う閉曲線の循環は時間に対して不変である。
2. ヘルムホルツの渦定理：非粘性バロトロピック流体の条件下では、渦管はそのままの状態で存在し、その強さは時間によらず一定である。
3. ラグランジュの渦定理：流体の流れにおける渦は生まれることも消えることもなく、不変の特性を持つ。

これらの定理は、流体の運動とその特性を理解するための基礎を提供します。

循環と揚力の関係

循環の概念は、揚力の説明にも用いられます。 フレデリック・ランチェスターやマルティン・ヴィルヘルム・クッタ、ニコライ・ジュコーフスキーが独立にこの関係を発見しました。二次元の非回転非圧縮流れにおいて、水平方向に一様な速度 U の流れが物体に与える揚力 L は、物体を囲む閉曲線に沿った循環 Γ および流体の密度 ρ に基づいて次のように表されます：

\[
L = -\rho U \Gamma
\]

この式は「クッタ・ジュコーフスキーの定理」として知られ、流体力学における揚力の説明の一つとして重要です。

参考項目

• - 渦度の定義
• - ビオ・サバールの法則
• - クッタ条件
• - ケルビンの渦定理
• - ヘルムホルツの渦定理
• - ラグランジュの渦定理

流体力学の循環の理解は、渦運動や流体の挙動に深い影響を及ぼすため、非常に重要な概念です。

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