散乱則

中性子散乱における散乱則

中性子散乱の分野では、散乱則が非常に重要な役割を果たします。この散乱則は、微分散乱断面積（d²σ）と散乱関数（S）との関係を示すもので、特にファン・ホーベが提唱した理論に基づいて理解されます。この理論では、散乱に関する詳細な解析が進められ、散乱プロセスがどのように機能するのかを明らかにしています。

散乱則の基本式

散乱則の基本的な数式は、次のように表現されます。
\[
\frac {d^{2}\sigma}{dE d\Omega} = NV^{2} \frac {k_{f}}{k_{i}} \left(\frac {m}{2\pi \hbar^{2}}\right)^{2} V(\chi)^{2} \cdot S(\chi, \omega)
\]
\[
= ext{右辺には、 scattering プロセスに必要な様々な要素が含まれています。}
\]
この式の中で、Nは粒子数密度、Vはボリューム、kは波数、mは中性子の質量、\(\hbar\)はディラック定数を示しています。また、S(χ, ω)は散乱関数であり、散乱プロセスにおいて重要な情報を提供します。

散乱則の導出

散乱則の導出は、波数\( k_{i} \)を持つ入射中性子が非弾性散乱を起こした後、波数\( k_{f} \)を持つ散乱中性子に変化する過程を考慮します。
入射中性子の状態は\( |k_{i}\rangle \)、散乱後の状態は\( |k_{f}\rangle \)と表されます。中性子が影響を受けるポテンシャルは\( H' \)と表わされ、このポテンシャルを使うことでボルン近似に基づいた微分散乱断面積が導出できます：
\[
\frac {d^{2}\sigma}{dE d\Omega} = \frac {k_{f}}{k_{i}} \left(\frac {m}{2\pi \hbar^{2}}\right)^{2} |\langle k_{f}|H'|k_{i}\rangle|^{2} \delta(\hbar \omega - \varepsilon_{i} + \varepsilon_{f})
\]
この式により、中性子の運動量やエネルギーの変化が散乱効果に与える影響が明らかになってきます。

波関数とポテンシャルの具体例

スピンの影響を考えない範囲では、中性子の状態は波として考えられます。入射状態は次のように表されます：
\[
|k_{i}\rangle = e^{i k_{i}
angle} \quad , \quad |k_{f}\rangle = e^{i k_{f} r}
\]
この平面波による表現は、散乱計算を簡素化します。

また、結晶の周期ポテンシャルは次のように定義されます：
\[
H' = \sum_{j} V(r - r_{j})
\]
この式において、\(V(r - r_{j})\)は位置におけるポテンシャルを示し、分布関数ともつながります。
これらの要素を組み合わせることで、熱平衡状態を仮定しながら散乱則が得られます。

相互作用の特性

この散乱則の特性として、散乱粒子の運動のみが影響し、散乱体の詳細な構造や運動には依存しないことが強調されます。相互作用はフェルミ擬ポテンシャルとして仮定されており、ボルン近似を元に処理されます。これにより、散乱則は和則および詳細釣り合いが成立することも確認されています。

まとめ

中性子散乱における散乱則は、微分散乱断面積と散乱関数との関連を示す重要な理論であり、今後の研究においても基盤となる知識です。

関連項目

• - 動的構造因子

脚注

• - 雑誌『中性子散乱』、著者: 遠藤康夫、出版社: 朝倉書店 より。

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