数え上げの積の法則

積の法則（乗法原理）

初等組合せ論の中で特に重要な「積の法則」、または「乗法原理」と呼ばれるこの原理は、選択肢の数を掛け算によって計算する方法を示しています。この法則は、別々の条件の下で選ぶことが多い場合に適用され、具体的には「ある状況でa通り、別の状況でb通りの選択肢がある場合、それらを組み合わせて行うことでa×b通りの選択が可能である」と説明されます。

具体例

例えば、集合{A, B, C}から1つの要素を選び、さらに別の集合{X, Y}からも1つの要素を選ぶと仮定します。この場合、選択肢は以下のように展開できます：

• - AX
• - AY
• - BX
• - BY
• - CX
• - CY

これを数えると、合計で6通りの選択ができることがわかります。数式で表すと、3（A, B, Cの選択肢の数）×2（X, Yの選択肢の数）= 6となります。

なお、この二つの集団は互いに交わらないため、直接的な組み合わせが可能です。しかし、交わることが必要なわけではありません。もし{A, B, C}から1回目、そして再度同じ集合から選ぶ場合は、選択の順序を考慮すると、(A, A), (A, B), (A, C), (B, A), (B, B), (B, C), (C, A), (C, B), (C, C)のように9通りの選択ができるため、3×3=9となります。

さらに日常生活でも例を見つけてみましょう。たとえば、ピザのオーダーで生地を薄いか厚いかの2種類から選び、トッピングでチーズ、ペペロニ、ソーセージの3種類から選ぶことができるとします。この場合、総注文法は2×3=6通りになると考えられます。

応用

この積の法則は、集合論で基数の積を定義する際にも使用されます。集合の濃度に関しての法則は次のように表されます：


この式において、右辺の×はデカルト積を示しています。ここで重要なのは、各集合が有限であることは必要なく、因子の数も無限にすることができる点です。

関連概念

数え上げの和の法則は、選択肢が重ならない場合に適用される基本の原理の一つです。こちらは、ある状況でa通り、別の状況でb通りがある場合には、両者を合わせて行うことができないのでa + b通りの選択肢が存在することを示しています。

まとめ

このように、初等組合せ論における積の法則は、選択肢の組み合わせを計算するための基本的な手法であり、日常の様々な場面で応用されます。"

参考文献

• - Weisstein, Eric W. “Multiplication Principle”. mathworld.wolfram.com（英語）.
• - rule of product - PlanetMath.（英語）
• - Product Rule for Counting at ProofWiki

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