明示公式

L-函数の明示公式について

数学において、L-函数の明示公式は、L-函数の複素数の零点と素数冪の関係を表現します。この概念はリーマンゼータ函数にさかのぼり、1859年にリーマンによって初めて定式化されました。明示公式は、代数体における判別式や導手の境界といったような数論の重要な問題への応用もあります。

リーマンの明示公式

リーマンは「与えられた数より小さい素数の個数について」という論文で、素数数え上げ函数
$$
egin{align} ext{π}_0(x) &= rac{1}{2} ext{lim}_{h o 0} ( ext{π}(x + h) + ext{π}(x - h)) \\ &= rac{1}{2} ext{lim}_{h o 0} ( ext{π}(x + h) + ext{π}(x - h)) \\ ext{が見出されました。
\end{align}
$$
この関数は、通常の素数数え上げ函数 π(x) に関連付けられています。リーマンはまた、次のように関数 f(x) を定義しました。

$$ f(x) = ext{π}(x) + rac{1}{2} ext{π}(x^{1/2}) + rac{1}{3} ext{π}(x^{1/3}) + c{...}
$$
伝統的に f(x) は、現在では一般的に使用される様式で表現され、各項は素数 p の 1/n で数えます。

明示公式の構成

リーマンの公式は次のように与えられます。

$$
egin{align} f(x) &= ext{li}(x) - ext{∑}_{ρ} ext{li}(x^{ρ}) - ext{log}(2) + ext{∫}_{x}^{∞} rac{dt}{t(t^{2} - 1) ext{log}(t)} \\ ext{li}の項は発散する積分であり、
\end{align}
$$
この対数積分は、ゼータ函数の非自明な零点と対応しています。

この公式によって、ゼータ函数の零点が素数の分布に対する深い影響を及ぼしていることが示されています。特に、初項の li(x) の主要成分が、s = 1 の極から来ていることが特徴で、多重度 −1 の零点を持つことが理解されます。これに対して、残りの小さな項は自明な零点から起こります。

フォン・マンゴルトの明示公式

リーマンの公式を用いると、覗き見的に、フォン・マンゴルトの公式にまとめられます。ここで、チェビシェフ函数
$ψ_0(x) = rac{1}{2 ext{π}i} ext{∫}_{0}^{∞}ig(-rac{ ext{ζ}'(s)}{ ext{ζ}(s)}ig)rac{x^{s}}{s}ds$ という形で示されます。
この公式は、非整数 x に対して ψ(x) が x よりも小さい全ての素数 powered by log(p) の和であることを示します。

ヒルベルト・ポリア予想

ヒルベルト・ポリア予想によると、零点 ρ はある線型作用素 T の固有値に相当します。明示公式は、少なくとも形式的には、このようなトレースによって与えられます。複雑な中性子の零点の和は、また異なる観点からも理解されています。
このような広範な定式化は、改善された数論的理論からの発展が含まれています。

結論

これらの明示公式は、素数の数を正確に数えるための方法を提供し、ゼータ函数の深い特性を明らかにします。L-函数の研究は、数論、代数体、さらには数学の他の分野へと広がりを見せています。

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