曲率

曲率（きょくりつ）

曲率は、曲線や曲面の形状を定量的に表す尺度であり、特にその曲がり具合を示します。例えば、円の曲率はその半径の逆数であり、半径が小さくなるにつれて曲率は大きくなります。この概念は、様々な形状や geometrical な構造を研究する際の基盤となります。

曲線の曲率の定義

曲線における曲率の計算は、まず基準点 P0 を決定し、そこから任意の点 P までの距離 s を考えることから始まります。このとき、点 P の位置を次のように表し、変数 s の関数として理解します。

$$
\mathbf{r}_{P} = \mathbf{r}(s)
$$

続いて、点 P における接線方向の単位ベクトル tP を次のように定義します。

$$
\mathbf{t}_{P} = \lim_{\Delta s \to 0} \frac{\mathbf{r}(s + \Delta s) - \mathbf{r}(s)}{\Delta s} = \frac{d\mathbf{r}}{ds}
$$

次に、点 Q についても同様の手法を用いて、接線ベクトル tQ を求め、二つの接線の間の角度を Δθ とした場合、次の条件が得られます。

$$
\left|\mathbf{t}_{Q} - \mathbf{t}_{P}\right| = 2 \sin\left(\frac{\Delta\theta}{2}\right)
$$

ここで Δθ が小さいとき、接線の変动率を χ として、次のように定義します。

$$
\chi(s) = \frac{d\theta}{ds} = \lim_{\Delta s \to 0} \frac{\Delta\theta}{\Delta s} = \left|\frac{d\mathbf{t}}{ds}\right| = \left|\frac{d^{2}\mathbf{r}}{ds^{2}}\right| = \frac{1}{R(s)}
$$

一般的に、曲率は χ、曲率の逆数は曲率半径 R と呼ばれます。また、曲線の高次性において、接線によって定まる平面を接触平面と所定します。

曲率の性質

接線ベクトルを時間 t で微分すると、次の式が得られます。

$$
\frac{d\mathbf{t}}{ds} = \frac{d^{2}\mathbf{r}}{ds^{2}} = \mathbf{n}\frac{d\theta}{ds} = \frac{\mathbf{n}}{R}
$$

ここで、n は主法線方向を示し、主法線と接線は直交します。この関係は、次のように示されます。

$$
\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right)^{2} = 1
$$

これを s について微分することにより、接触するベクトルの特性が実証されます。加えて、接線 t と法線 n の外積は、陪法線の単位ベクトル b を生成します。

$$
\mathbf{t} \times \mathbf{n} = \mathbf{b}
$$

このように、曲率の概念は数学だけではなく、物理学を含む様々な学問領域で応用されます。例えば、接触平面や曲面の特性、さらにはロボティクスやコンピュータグラフィックスにおける曲線描画など、適用範囲は豊富です。

関連項目

• - ガウス・ボネの定理
• - オイラーの定理（微分幾何学）
• - フレネ・セレの公式

参考文献

小林昭七著『曲線と曲面の微分幾何』改訂版（裳華房、1995年）を参考に、曲率の理論と応用についての理解を深めることができます。この理論は、現代の数学と物理における重要な要素でもあります。

もう一度検索