比較判定法

無限級数の収束判定：比較判定法

無限級数の収束性を調べる手法の一つに、比較判定法があります。これは、既知の級数の収束性を利用して、対象となる級数の収束性を判定する方法です。比較判定法は大きく分けて第一種と第二種があります。

第一種比較判定法

第一種比較判定法は、対象の級数の項の絶対値を、収束性が既知の級数の項の絶対値と比較することで収束性を判定します。

判定基準

収束判定： 絶対収束する級数Σ|bn|が存在し、ある定数Cと十分大きなnに対して|an| ≤ C|bn|が成り立つならば、級数Σanは絶対収束します。これは、Σ|bn|がΣ|an|を「抑える」場合に相当します。
発散判定： 発散する級数Σ|bn|が存在し、十分大きなnに対して|an| ≥ |bn|が成り立つならば、級数Σ|an|は絶対収束しません。ただし、anの符号が交互に入れ替わるなど、特別な条件下では条件収束する可能性があります。

具体例

例えば、[級数]]Σ(1/n²)の収束性を判定したいとします。この級数は、p級数])の一種であり、p=2>1のため絶対収束することが知られています。ここで、もし別の[[級数Σanがあり、十分大きなnについて|an| ≤ 1/n²となるならば、第一種比較判定法により、級数Σanも絶対収束することが結論づけられます。

第二種比較判定法

第二種比較判定法は、対象の級数の隣接項の比の絶対値を、収束性が既知の級数の隣接項の比の絶対値と比較することで収束性を判定します。これは、ダランベールの収束判定法に基づいています。

判定基準

収束判定： 絶対収束する級数Σ|bn|が存在し、ある定数Cと十分大きなnに対して|a(n+1)/an| ≤ C|b(n+1)/bn|が成り立つならば、級数Σanは絶対収束します。
発散判定： 発散する級数Σ|bn|が存在し、十分大きなnに対して|a(n+1)/an| ≥ |b(n+1)/bn|が成り立つならば、級数Σ|an|は絶対収束しません。同様に、anの符号が交互に入れ替わるなど、特別な条件下では条件収束する可能性があります。

具体例

例えば、級数Σ(n!/n^n)の収束性を判定したいとします。この級数に対し、第二種比較判定法を用います。隣接項の比の絶対値は|a(n+1)/an| = (n+1)!/(n+1)^(n+1) * n^n/n! = n^n/(n+1)^n = (n/(n+1))^nとなります。この値はnが大きくなるにつれ1/eに近づきます。もし、この級数を、収束する幾何級数と比較して判定を進めることができます。

まとめ

比較判定法は、無限級数の収束性を調べる上で非常に強力なツールです。第一種と第二種、それぞれの方法の特徴を理解し、問題に合わせて適切な方法を選択することで、級数の収束性を効率的に判定できます。ただし、比較判定法は必ずしも全ての級数に適用できるわけではなく、級数の特性を考慮した適切な比較級数の選択が重要です。また、判定結果が収束である場合、その級数が絶対収束か条件収束かをさらに検討する必要がある場合があります。

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