流水算
流水算について
流水算（りゅうすいざん）は、川が流れる条件下で物体の運動を考える数学の問題形式です。この問題は、特に静水（流れのない水）での物体の速さと、川の流れの速さを組み合わせることで解法を見出すものです。具体的には、船が上流と下流に移動する際の速さに基づいて、公式を用いて速さを求めます。
基本的な考え方
一般的な前提として、問題文に特に指示がなければ、船の静水時の速さと川の流速は一定であると仮定します。これに基づき、上流に向かう際の速さは、静水の速さから流速を引いたもの、下流に向かう際の速さは、静水の速さに流速を加えたものとして解釈します。このため、上りの速さと下りの速さを得ることにより、静水の速さや川の流速を求めることが可能です。
上りの速さは以下の式で表されます。
下りの速さは次のようになります。
この理解が基盤となります。
例題
次に、例題を通じて具体的な計算を見ていきましょう。
ある川において、10km離れた地点に船着場が二つあります。船が下流へ移動する際は1時間、上流に戻る際は2時間かかるとします。この条件のもとで、船の速さおよび川の流れの速さを求めましょう。
解答過程
- - 上りの速さは:
- - 下りの速さは:
- - 川の流れの速さは:
- - 船の速さは:
以上により、この問題から得られる静水での船速は7.5km/h、流速は2.5km/hとなります。
類題
次に、類似問題を扱ってみましょう。24kmの距離でA地点とB地点の間にある川を考えます。船がA地点からB地点までの間を上るのに3時間、B地点からA地点へ戻るのに2時間かかるとします。この問題を解いてみましょう。
問題
1. 船の静水時の速さを求めよ。
2. 川の流れの速さを求めよ。
解答過程
1. 上りの速さは24km ÷ 3時間 = 8km/h。下りの速さは24km ÷ 2時間 = 12km/h。平均を取ると10km/hとなります。
2. 川の流れの速さは下りの速さ12km/hから平均の速さ10km/hを引くことで2km/hと求められます。
発展問題
発展的な問題として、上りと下りの速さの比率が与えられ、静水の速さか流速のいずれか一つを求める問題があります。また、所要時間を基にした問題に変更することで、距離を求める問題も考えられます。さらに、静水で同じ速さを持つ2隻の船が流水上で向かい合って運行し、すれ違う地点や時刻を求める問題も可能です。このアプローチは「流水旅人算」とも呼ばれます。
問題文が文章形式で提示される一方で、時間軸と位置軸をもつグラフを活用する問題も多く、その理解を助けるため、複雑な問題ではグラフを使って視覚的に考えることが助けになります。グラフを描く訓練は、流水算の理解を深めるうえで非常に有効です。
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