滑らかな射

滑らかな射 (Smooth Morphism)

代数幾何学において、滑らかな射とは、スキームの射 `f: X → S` であって、特定の条件を満たすものを指します。これは、直感的には非特異多様体の平坦族を与える射と捉えることができます。

定義

スキームの射 `f: X → S` が滑らかであるとは、以下の3つの条件を満たすことを言います。

1. 局所的に有限表示: `f` は局所的に有限表示である。
2. 平坦: `f` は平坦である。
3. 正則: 任意の幾何学的点 `s̄ → S` に対し、そのファイバー `X_s̄ = X ×_S s̄` は正則である。

分離的ならば、f の幾何学的ファイバーは全て非特異多様体になります。S が代数的閉体のスペクトルで f が有限型であれば、これは非特異多様体であることと同値です。

同値な定義

滑らかな射には多くの同値な定義が存在します。`f: X → S` を局所的に有限表示な射とすると、以下は同値です。

`f` は滑らかである。
`f` は形式的に滑らかである。
`f` は平坦であり、相対微分1形式の層 `Ω_{X/S}` は局所自由層で、その階数は `X/S` の相対次元に等しい。
任意の `x ∈ X` に対し、ある `x` の近傍 `Spec B` と `f(x)` の近傍 `Spec A` が存在し、`B = A[t_1, ..., t_n]/(P_1, ..., P_m)` と書け、m 行 m 列の小行列式 `(∂P_i/∂t_j)` で生成されたイデアルが B となる。
`f` は局所的に `X → A_S^n → S` とエタール射 g を用いて分解できる。
`f` は局所的に `X → A_S^n → A_S^{n-1} → ... → A_S^1 → S` とエタール射 g を用いて分解できる。
有限型の射がエタールであることと、滑らかかつ準有限であることは同値である。

滑らかな射は、基底変換や合成に関して閉じている性質を持ち、局所的に有限表示です。また、局所的に絶対非輪状（universally locally acyclic）でもあります。

例

微分幾何における沈め込み: エーレスマンの定理により底空間上の滑らかで局所自明なファイバー束であるため、滑らかな射とはこれの代数幾何学での類似物と見なせます。
点への滑らかな射: 例えば、`Spec(C[x,y]/(y^2 - x^3 - x - 1)) → Spec(C)` は滑らかな射です。
自明なファイバー束: 滑らかなスキーム `Y` に対して、射影 `Y × X → X` は滑らかな射です。
ベクトル束: スキーム上の任意のベクトル束 `E → X` は滑らかな射です。例えば、`P^n` に付随するベクトル束 `O(k)` については、これは重みつき射影空間から1点を除いたもの `O(k) = P(1, ..., 1, k) - {[0: ... : 0: 1]} → P^n` であることから分かります。
体の分離拡大: 体の拡大 `K → L` が分離拡大であることと、ある `gcd(f(x), f'(x)) = 1` を満たす多項式で `L = K[x]/(f(x))` と書けることは同値です。

滑らかではない例

特異多様体: 射影多様体 `X` を定めている環 `R` の `Spec` を考えると、これは `X` のアフィン錐と呼ばれ、原点が常に特異点になります。
退化する族: 平坦族 `Spec(C[t,x,y]/(xy-t)) → A_t^1` は、原点を除く全ての点で滑らかなファイバーを持ちますが、全体としては滑らかではありません。
* 体の非分離拡大: 体の拡大 `F_p(t^p) → F_p(t)` は非分離拡大なので、これから定義されるスキームの射は滑らかではありません。

形式的に滑らかな射

S 上のスキーム X が形式的に滑らかとは、任意のアフィン S スキーム T と T の冪零イデアルで定義される部分スキーム `T_0` に対して `X(T) → X(T_0)` が全射になることを言います。局所有限型の射が滑らかであるのは、形式的に滑らかであるとき、かつそのときに限ります。

滑らかな基底変換

滑らかな基底変換定理は、準コンパクト射 `f: X → S`、滑らかな射 `g: S' → S`、および `X_et` 上の捩れ層 `F` に対して、特定の条件下で基底変換射が同型写像になることを述べています。

滑らかな射は、代数幾何学において重要な概念であり、様々な場面で応用されています。

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