滑らかな関数

数学において、関数の滑らかさ（なめらかさ、smoothness）とは、その関数が持つ微分可能性の度合いを示す重要な性質です。グラフを描いたときに、どの点をどれほど拡大しても角張った部分や尖った箇所が見られないという直感的なイメージに対応しています。この性質は、関数の導関数が存在するかどうか、そしてその導関数がどのような性質を持つかによって定量的に測られます。

滑らかさは、関数の持つ微分可能性の階数によって段階的に分類されます。最も基本的な滑らかさは連続性であり、これはC⁰級とも呼ばれます。これに続くのが、連続的微分可能な関数、すなわちC¹級関数です。これは、関数自身に加えて、その導関数が存在し、かつその導関数が連続であるような関数を指します。

より一般的に、自然数 k に対して、関数がk階連続的微分可能である、またはC^k級関数であるとは、その関数がk階までの導関数を持ち、かつそのk階導関数が連続関数である場合を言います。関数が微分可能であれば連続であるという性質から、C^k級のクラスは、kが増加するにつれてより強い条件となり、クラス間の間にC^k ⊃ C^k+1のような包含関係が成り立ちます。

この階数をさらに進め、関数が任意の有限階数の導関数を持ち、それらがすべて連続である場合、その関数は無限回（連続的）微分可能であるといい、そのクラスはC^∞級と記されます。C^∞級関数は、どのような高階の導関数も滑らかであるという意味で、非常に滑らかな関数と言えます。

さらに強い滑らかさの性質を持つクラスとして、解析関数（analytic function）があります。これはC^ω級とも呼ばれ、定義域内の各点においてテイラー級数（冪級数）展開が可能であるような関数を指します。解析関数は無限回微分可能ですが、無限回微分可能であっても解析関数ではない例が存在するため、C^ω ⊂ C^∞という包含関係が成り立ちます。つまり、解析関数はC^∞級関数よりも強い意味で滑らかであると言えます。

文脈によっては、C^k級のクラスを、ちょうどk階まで連続的に微分可能であって、k+1階の導関数が存在しないか、存在しても連続ではない関数全体が成すクラスとして定義する場合もあります。この定義を用いると、各クラスは互いに交わらない排他的な分類となりますが、通常は包含関係を持つ定義が広く用いられます。

滑らかな関数（smooth function）という言葉は、文脈に応じて十分に高い階数の微分可能性を持つ関数を総称する際に使われます。この「十分」という言葉は厳密な階数を示すものではなく、議論を進める上で都合の良い程度の滑らかさを持つ関数を指すために便宜的に用いられます。多くの場合、この言葉は特にC^∞級関数や解析関数（C^ω級関数）を指して使われます。

滑らかさの概念は、微分がそうであるように局所的な性質です。これは、ある点での関数の滑らかさは、その点の非常に小さな近傍における関数の挙動によって決定されることを意味します。もし関数が定義域全体ではなく、有限個の点を除いた各点で滑らかである場合、その関数は区分的に滑らかであると言われます。同様に、区分的にC^k級や区分的に連続といった概念も考えられます。

これらの関数の滑らかさによる分類は、特定の性質を持つ関数の集合である関数空間を定義する際に基本的な役割を果たします。例えば、定義域をXとするC^k級関数全体の空間は、しばしばC^k(X)のように表記され、数学解析や幾何学などの様々な分野で研究対象となります。

実解析や複素解析とは異なる構造を持つ空間、例えばp-進解析のようなリジッド空間を考える際には、標準的な意味での微積分が適用できないことがありますが、そのような文脈で局所定数関数のクラスをC^∞と定義するなど、特別な形で滑らかさの概念が導入されることもあります。

滑らかさの概念は、微積分学の基礎から、微分幾何学、解析学、関数解析学といった幅広い分野で中心的な役割を果たしています。

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