漸近展開

漸近展開

漸近展開とは、与えられた関数を、より単純な関数列の級数を用いて近似する手法です。テイラー展開は漸近展開の特殊なケースと見なせますが、漸近展開によって得られる級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは限りません。

しかし、元の関数の形では解析が難しい場合でも、漸近展開を用いることで、関数を級数の形で近似し、その性質を明らかにできることがあります。漸近展開は、複素解析や特殊関数に対する数値解析といった解析学の分野で重要な役割を果たしており、確率論の基礎としても利用されています。

漸近級数

関数 \( f(x) \) を実数領域で定義された関数とし、\( x_0 \) を \( f(x) \) の定義域内の点とします。
関数列 \( \{\varphi_n(x)\}_{n \geq 0} \) が次の条件を満たすとき、漸近関数列と呼びます。

\begin{equation}
\varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_n(x)) \quad (x \to x_0) \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)
\end{equation}

実数列 \( \{a_n\}_{n \geq 0} \) が存在し、任意の正整数 n に対して

\begin{equation}
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - \sum_{k=0}^{n} a_k \varphi_k(x)}{\varphi_n(x)} = 0
\end{equation}

が成り立つとき、

\begin{equation}
f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} a_n \varphi_n(x) \quad (x \to x_0)
\end{equation}

を \( f(x) \) の漸近級数と呼びます。

さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数、または狭義の漸近級数と呼びます。

任意の正整数 n、\( f(x) \) の定義域内の x に対して

\begin{equation}
\left|f(x) - \sum_{k=0}^{n} a_k \varphi_k(x)\right| < |a_{n+1} \varphi_{n+1}(x)|
\end{equation}

が成立します。

漸近関数列が \( \{(x - x_0)^n\}_{n \geq 0} \) (\( |x_0| < \infty \)) または \( \{x^{-n}\}_{n \geq 0} \) (\( |x_0| = \infty \)) の形の漸近級数を、漸近冪級数と呼びます。

与えられた漸近関数列を用いて \( f(x) \) の漸近級数を得ることを漸近展開といい、\( f(x) \) の漸近級数 \( \sum_{k=0}^{\infty} a_k \varphi_k(x) \) が存在する場合、\( f(x) \) は漸近展開

\begin{equation}
f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty} a_k \varphi_k(x)
\end{equation}

を持つといいます。

漸近展開の性質

一意性

任意の関数 \( f(x) \) に対して、\( f(x) \) に対する漸近級数は存在しても唯一とは限りません。しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は、存在すれば唯一です。したがって、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数となります。

さらに、漸近級数の各係数は

\begin{equation}
a_n = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - \sum_{k=0}^{n-1} a_k \varphi_k(x)}{\varphi_n(x)}
\end{equation}

で与えられます。

和と積

点 \( x_0 \) の近傍で定義された関数 \( f(x) \) と \( g(x) \) が、漸近関数列 \( \{\varphi_n(x)\}_{n \geq 0} \) に対する漸近展開

\begin{equation}
f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} a_n \varphi_n(x), \quad g(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} b_n \varphi_n(x)
\end{equation}

を持つとします。このとき、任意の \( \alpha \), \( \beta \) に対して

\begin{equation}
\alpha f(x) + \beta g(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} (\alpha a_n + \beta b_n) \varphi_n(x)
\end{equation}

が成立します。

さらに、漸近関数列が \( \{\varphi(x)^n\}_{n \geq 0} \) (\( \varphi(x) \to \infty \quad (x \to x_0) \)) である場合、

\begin{equation}
f(x)g(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} c_n \varphi(x)^n, \quad c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}
\end{equation}

が成立します。

項別微分

一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しないように、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限りません。

項別微分した関数が漸近展開したものになるかは、元の関数や漸近関数列によって決まります。

漸近関数列 \( \{\varphi_n(x)\}_{n \geq 0} \) は各 n に対して、\( x_0 \) の近傍で微分可能であり、関数列 \( \{\varphi'_n(x)\}_{n \geq 0} \) が漸近関数列である場合、以下のことが成立します。

\( f(x) \) は、\( x_0 \) の近傍で微分可能であり、

\begin{equation}
f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} a_n \varphi_n(x)
\end{equation}

となる漸近展開を持ち、\( f'(x) \) が漸近関数列 \( \{\varphi'_n(x)\}_{n \geq 0} \) を用いて漸近展開することができるのであれば、

\begin{equation}
f'(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} a_n \varphi'_n(x)
\end{equation}

が成立します。

項別積分

\( |x_0| < \infty \) とし、\( f(x) \) の漸近展開を

\begin{equation}
f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} a_n \varphi_n(x)
\end{equation}

とします。定積分

\begin{equation}
\int_{x_0}^{x} \varphi_n(t) dt
\end{equation}

が各 n に対して存在するならば、

\begin{equation}
\int_{x_0}^{x} f(t) dt \sim \sum_{n=0}^{\infty} a_n \int_{x_0}^{x} \varphi_n(t) dt
\end{equation}

が存在して、

\begin{equation}
\int_{x_0}^{x} f(t) dt = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \int_{x_0}^{x} \varphi_n(t) dt
\end{equation}

が成立します。

\( x_0 = \infty \) のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいきません。

例

スターリングの公式の一般化
合流型超幾何関数
誤差関数
指数積分
ラプラス変換
微分方程式の解
* 調和級数

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