現在価値

現在価値の概念と算出方法

現在価値（げんざいかち）は、金融において特に重要な概念で、異なる時期に発生する貨幣の価値を比較可能にするための手法です。この概念は、将来に得られる金額を、一定の割引率を使って現在の時点まで戻すことで算出されます。これによって、時間の経過による貨幣の価値の変動を考慮し、投資や資産の評価を行う際には欠かせない要素です。

現在価値の計算例

例えば、年5%の割引率で考えた場合、1年後に得られる10,000円は現在の価値としていくらになるでしょうか。この場合の計算式は次の通りです。

$$
現在価値 = \frac{10,000}{1.05} = 9,524円
$$

このため、1年後の10,000円の現在価値は9,524円ということになります。同様に、2年後の10,000円の現在価値は次のように計算可能です。

$$
現在価値 = \frac{10,000}{(1.05)^{2}} = 9,070円
$$

一般的に、年利率をi、時期をt年としたとき、t年後のR円の現在価値は以下のように表されます。

$$
現在価値 = \frac{R}{(1+i)^{t}}$$

ここにおいて、\( \frac{1}{(1+i)^{t}} \)は割引因子と呼ばれるものです。

複数年のキャッシュフローの現在価値

また、T年間にわたってキャッシュフロー\( R_{i} \)が発生する資産についても、それぞれの年に得られるキャッシュフローの現在価値を合計することで、全体の現在価値を算出可能です。具体的には、以下のような式になります。

$$
NPV = \sum_{t=1}^{T} \frac{R_{t}}{(1+i)^{t}}
$$

この式は各年のキャッシュフローを評価し、将来の価値を現在の価値に引き直すことを目的としています。

割引率と複利について

時間の経過とともに資産の価値は変動します。例えば、年利率iが存在する場合、現在のP円が1年後にはP(1+i)円に増加します。もし半年ごとの複利を考えると、この増加は少し異なり、t年後にはP(1+i/2)^{2t}となります。さらに4か月ごとの複利であれば、t年後にはP(1+i/3)^{3t}といったように、時間の単位やその時点での割引率の取り扱いによって計算結果が変わります。

このパターンは一般化することができ、1/n年の複利を考慮すると、t年後の価値はP(1+i/n)^{nt}という式で表されます。これをnを無限に大きくしていくと、次の極限の関係が得られます。

$$
\lim_{n\rightarrow \infty} P\left(1+\frac{i}{n}\right)^{nt} = P e^{it}
$$

この結果から、連続的に時間を捉えることで、nを無限にしていくと、時点tにおける価値Pの現在価値はP e^{-it}という形で表されることがわかります。

参考事項

現在価値を理解する際は、「割引現在価値」という関連用語も重要です。これにより、将来のキャッシュフローや利息が現在どのような価値があるかを評価することが可能となります。

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