積閉集合

積閉集合とは

抽象代数学の分野で用いられる「積閉集合」は、特に可換環論において重要な概念です。この集合は、有限積に関して閉じている集合を指します。

定義

単位的環 R の部分集合 S が積閉または乗法的であるためには、2つの条件を満たす必要があります。

1. 単位元の存在: 1 ∈ S
2. 閉じられた性質: x, y ∈ S ならば、xy ∈ S です。

このように、集合 S は環 R の乗法モノイドの部分モノイドであると言えます。また、注意すべきは、空の積は 1 に等しいと定義されるため、上記の条件は「S は有限積をとる操作について閉じている」ということと同じ意味を持ちます。

同様の考え方で、部分集合 S が「飽和」であるとは、因子をとる操作に関して閉じているとき、すなわち z ∈ S かつ z = xy ならば x, y ∈ S であることを指します。

具体例

積閉集合の具体例は数多く存在します。以下に幾つかの代表的なものを挙げます。

• - 可換環の素イデアルの補集合
• - 環の元 x を固定するときの集合 {1, x, x^2, x^3, …}
• - 環の単元全体の集合
• - 環の非零因子全体の集合
• - イデアル I に対する 1 + I

これらの例からもわかるように、積閉集合は多様な形で現れます。

性質

可換環 R のイデアル P が素イデアルであるための必要な条件と十分な条件は、補集合 R ∖ P が積閉であることです。さらに、部分集合 S が積閉かつ飽和であるための必要十分条件は、それが素イデアルの合併の補集合であることです。これにより、特に素イデアルの補集合は常に積閉かつ飽和であることが示されます。

また、積閉集合からなる族の交わりも積閉であり、飽和集合からなる族の交わりも飽和である性質があります。これらの特性は、積閉集合や飽和集合の理解を深める手助けとなります。

関連項目

積閉集合の概念は、多くの数学的な理論や性質と関連しています。以下はその関連項目の例です。

• - 環の局所化
• - 右分母集合
• - π-系

これらを理解することで、より広範な数学理論の構築や応用に対する視野が広がります。積閉集合はただの集合の性質を超えて、環の構造や性質を深く探求する鍵となるのです。

参考文献

このテーマに関して深く掘り下げたい方には、以下の文献が推奨されます。

• - M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969.
• - David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer, 1995.
• - Irving Kaplansky, Commutative rings (Revised ed.), University of Chicago Press, 1974.
• - Serge Lang, Algebra 3rd ed., Springer, 2002。

これらの文献を通じて、積閉集合に関するより詳しい理解を得ることができるでしょう。

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