立体角

立体角：三次元空間における角度の概念

平面における角度の概念を三次元空間へと拡張したものが、立体角です。平面角が、一点から出る2本の半直線が作る開き具合を表すのに対し、立体角は、一点から出る無数の半直線が作る錐体面の広がりを表します。

立体角の定義と計算

より具体的に説明しましょう。平面角では、頂点を中心とする半径1の円において、2本の半直線が切り取る円弧の長さで角度を定義しました。同様に、立体角は、頂点を中心とする半径1の球において、錐体面が切り取る球面上の面積で定義されます。

この面積を計算するために、積分を用いることができます。空間内の曲面Sが原点の周りに張る立体角ω(S)は、以下の式で表されます。

ω(S) = ∫S (r • dS) / r³ = ∫S sinθ dθ dφ

ここで、rは原点から曲面上の点へのベクトル、dSは曲面上の微小面積ベクトル、rはベクトルの大きさ、θとφは球座標系の角度です。この積分により、任意の曲面が張る立体角を計算できます。

立体角の単位

立体角の大きさを表す単位として、主に以下の2つが用いられます。

1. ステラジアン (sr)

ステラジアンは、国際単位系(SI)の基本単位の一つです。平面角の単位であるラジアンの三次元版と言えるでしょう。半径1の球において、1平方メートルの面積を切り取る立体角が1ステラジアンと定義されます。球全体の立体角は4πステラジアン (約12.566 sr) となります。放射強度の測定など、様々な物理現象の記述に用いられます。

2. 平方度 (deg²)

平方度は、平面角の単位である度の三次元版です。1平方度は、1度×1度の正方形の面積に相当する立体角として定義されます。ステラジアンと異なり、SI単位ではありません。天文学において、星の視直径など、天体の見かけの大きさを表す際に用いられることが多いです。1ステラジアンは約3282.8平方度に相当します。

まとめ

立体角は、平面角の概念を三次元空間へ自然に拡張したものです。その定義と計算方法は積分を用いて表現され、ステラジアンと平方度という2つの主要な単位で表されます。ステラジアンはSI単位系に属し、物理学の様々な分野で利用されますが、天文学では、より直感的に理解しやすい平方度が用いられることが多いです。それぞれの単位の特性を理解することで、立体角の概念をより深く理解することができるでしょう。

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