算術幾何平均

算術幾何平均

数学における算術幾何平均（さんじゅつきかへいきん、Arithmetic-geometric mean; AGM）とは、二つの与えられた数から出発し、一方の数列では常に算術平均（相加平均）を計算し、もう一方の数列では常に幾何平均（相乗平均）を計算するという操作を無限に繰り返すことによって得られる共通の極限値を指します。

定義

一般に、零でない複素数 `a` と `b` に対して、以下の漸化式によって定義される二つの数列 `{a_n}` および `{b_n}` を考えます。

初期値： `a_0 = a`, `b_0 = b`
漸化式： `a_{n+1} = (a_n + b_n) / 2`, `b_{n+1} = sqrt(a_n b_n)`

ここで、`sqrt(a_n b_n)` における平方根の符号の選び方には注意が必要です。通常は、`a_n` と `b_n` が近い値になるように、`a_n + b_n` の符号に近い方を選びます。より厳密には、`b_{n+1}` の符号は `a_{n+1}` の符号と同じになるように選びます。

特に、`|arg(b/a)| ≠ π` （つまり、`a` と `b` が原点から見て反対側の半直線上になく、`b/a` が負の実数でない）という条件の下で、この二つの数列 `{a_n}` と `{b_n}` は同じ値に収束することが知られています。この共通の極限値を、元の `a` と `b` の算術幾何平均と呼びます。

正の実数の場合

特に `a` と `b` が正の実数である場合、相加・相乗平均の関係式 `(x+y)/2 >= sqrt(xy)` より、常に `a_n >= b_n` が成り立ちます。このとき、数列 `{a_n}` は単調減少数列となり、数列 `{b_n}` は単調増加数列となります。また、`{a_n}` は `b_0` によって下に有界であり、`{b_n}` は `a_0` によって上に有界となります。これらのことから、実数の性質として、二つの数列はそれぞれ収束し、さらに定義の漸化式から、両者が同じ値に収束することが確かめられます。

性質

算術幾何平均はいくつかの重要な性質を持っています。

スケーリング性: 正の定数 `c > 0` に対して、`c a` と `c b` の算術幾何平均は、`a` と `b` の算術幾何平均に `c` を掛けたものに等しくなります。つまり、`M(ca, cb) = c M(a, b)` という関係が成り立ちます。

収束の速さ: 算術幾何平均の収束は極めて速いことで知られています。具体的には、数列の差 `|a_{n+1} - b_{n+1}|` は、前段階での差 `|a_n - b_n|` のおよそ二乗に比例します。これは二次収束（または超二次収束）と呼ばれ、ステップを進めるごとに有効桁数が倍になっていくような速さです。

楕円積分との関係: 算術幾何平均は、特定の形の楕円積分という特殊な積分と深い関係があります。特に正の実数 `a, b` に対して、`a` と `b` の算術幾何平均は、`1 / (a, b間の算術幾何平均)` が特定の楕円積分と等しくなるという関係式が成り立ちます。楕円積分は一般に初等的な方法では計算が困難ですが、算術幾何平均の高速な収束性を利用することで、楕円積分の値を効率的に数値計算することが可能になります。

応用

算術幾何平均の最も有名な応用の一つは、その収束の速さを利用した数値計算です。特に、円周率 `π` の計算や、楕円の周長などの計算に用いられる楕円積分の数値評価において、高速なアルゴリズムを提供します。

関連する平均

算術平均と幾何平均の代わりに、他の種類の平均を使って同様の数列を構成することも考えられます。

算術調和平均: 算術平均と調和平均を繰り返して得られる数列は、元の二つの数の幾何平均に収束します。
調和幾何平均: 幾何平均と調和平均を繰り返して得られる数列の極限値と、算術幾何平均の積は、元の二つの数の幾何平均の二乗に等しくなります。

これらの関連概念も、平均に関する興味深い性質を示しています。

算術幾何平均は、一見単純な数列操作から生まれるにもかかわらず、解析学、特に楕円関数論や数値解析において重要な役割を果たす、奥深い概念です。

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