終端速度

終端速度

終端速度（しゅうたんそくど、英: terminal velocity）は、物体が重力や遠心力などの外力と、速さに応じた抗力が釣り合ったときの速度のことで、終末速度や終末沈降速度とも呼ばれます。この現象は物体が空気中や水中を運動するときによく見られ、その速度に達すると物体の加[[速度]]はゼロになり、一定の速度で移動し続けることとなります。

運動方程式の導出

物体が浮力や空気抵抗を受けながら自由落下している状況を考えます。この場合、物体の運動方程式は次のように表されます:

$$
\rho_s V \frac{du}{dt} = (\rho_s - \rho_f)Vg - c_D S \frac{\rho_f u^2}{2}
$$

ここで、各記号の意味は次の通りです。

• - \(\rho_s\): 物体の密度（kg/m³）
• - \(\rho_f\): 空気の密度（kg/m³）
• - \(V = \frac{\pi}{6} d^3\): 物体の体積（m³）
• - \(S = \frac{\pi}{4} d^2\): 物体の運動方向への投影面積（m²）
• - \(d\): 物体の直径（m）
• - \(u\): 物体の速度（m/s）
• - \(g\): 重力加[[速度]]（m/s²）
• - \(c_D\): 抗力係数

抗力係数 \( c_D \) は物体の速度に依存し、レイノルズ数 \( Re \) によって次のように表されます:

$$
\begin{cases}
c_D = \frac{24}{Re} & (Re < 2) \\
c_D = \frac{10}{\sqrt{Re}} & (2 < Re < 500) \\
c_D = 0.44 & (500 < Re < 10^5)\end{cases}
$$

ここで、レイノルズ数 \( Re \) は物体の速度を無次元化したもので、次のように定義されます:

$$
Re = \frac{du \rho_f}{\mu_f}
$$

• - \(\mu_f\): 空気の粘性係数（kg/m·s）

終端速度の計算

終端速度 \( u_t \) は加[[速度]]がゼロになったときの速度であり、次のように求めることができます:

$$
u_t = \begin{cases}
\frac{d^2(\rho_s - \rho_f)g}{18\mu_f} & (Re < 2) \\
\left\{\frac{4}{225}\frac{(\rho_s - \rho_f)^2g^2}{\rho_f \mu_f}\right\}^{\frac{1}{3}} d & (2 < Re < 500) \\
\left\{\frac{4}{3 \times 0.44}\frac{(\rho_s - \rho_f)g}{\rho_f}\right\}^{\frac{1}{2}} d & (500 < Re < 10^5)\end{cases}
$$

このように、物体がどのような環境で運動するかによって、終端速度の求め方は異なるため、注意が必要です。特に、ストークスの法則による流体の挙動に関する研究が進むことにより、より精密な計算が可能となります。

抗力係数の変化

抗力係数はレイノルズ数によって変わり、特に低速や層流の状況では \( c_D = 24/Re \) となります。一方で、高速の場合にはおおよそ \( c_D = 0.44 \) となります。これにより、物体のサイズ、速度、形状によって大きく変化することがわかります。

液滴の終端速度

液滴の場合、形状の変化や内部の流動により運動の解析はさらに複雑になりますが、一定の断面積や粘度を考慮し、Hadamard-Rybczynskiの式が提案されています。この式は、液滴の半径が大きくなるにつれて、その終端速度がどのように変わっていくかを示しています。

結論

終端速度は物体の運動において重要な概念であり、様々な分野で応用されています。流体力学の基礎となる理論を理解することで、私たちは現象をより深く理解できるようになるのです。

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