自己数

自己数についての詳細

数論の一分野において、自己数とは、特定の基数において他の自然数の桁の合計から作られることがない、自然数のことです。英語では「self number」と呼ばれ、別名「コロンビア数」とも呼ばれます。この数学的概念は、1949年にインドの数学者D. R. カプレカルによって初めて記述されました。

自己数の定義

ある基数をbとしたとき、自己数は以下の条件を満たします。自然数nに対して、nとその各桁の数を合計した結果がnに等しくならず、ある自然数mが存在しない場合、nは自己数と呼ばれます。具体的な例として、基数10の世界において20は自己数ですが、21は自己数ではありません。

基数における自己数の定義

自己数の定義を説明するために、b-自己関数Fを以下のように定義します。

• - F_b(n) = n + Σ_{i=0}^{k-1} d_i

ここで、kは基数bにおける桁数で、d_iは各桁の値を表します。もしnに対してこのF_b(n)の逆像が存在しないなら、nはb-自己数となります。特に、偶数基数の場合にはすべての基数以下の奇数が自己数であり、奇数基数の場合はすべての奇数が自己数です。

自己数の性質

自己数の集合は無限であり、特定の基数におけるそれらの自然集密度は正の値を持ちます。奇数の基数を考慮すると、その密度は1/2です。これにより、その概念は非常に広範で、興味深い数学的性質を持っています。

漸化式による計算

基数10における自己数は、以下の漸化式によって表現されます。

• - C_1 = 9
• - C_k = 8 × 10^{k-1} + C_{k-1} + 8

他の任意の基数に対しても漸化式を一般化することができます。このように、自身の数が生成され関係は解析可能です。

具体的な例

基数10の自己数の具体例として、最初のいくつかは以下のようになります：

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, ...

同様に、基数12における自己数のいくつかは、特記すべきです。このように、自己数や自己素数は複雑な数学の一部として広がりを見せています。自己素数は自己数でかつ素数であることを特徴とし、多様な応用が考えられます。例えば、基数10における最初の自己素数は3, 5, 7, ...です。

最後に

自己数の探求は、数論における興味深い話題です。この分野におけるさらなる研究は、数学的な発見や新たな理論の発展につながる可能性を秘めています。

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