自由場

自由場の概念とその物理的意義

物理学における自由場とは、相互作用を伴わない場のことを指します。この概念は古典物理学と量子場理論の両方で重要な役割を果たしており、特に運動項と質量項によって記述されます。自由場の基本的な特性は、その場の運動方程式が線型偏微分方程式（PDE）で表され、一意的な解を持つことにあります。このような条件に適う場は、古典的な力学の理論の基盤となる要素です。

古典的自由場と量子的自由場

古典物理学における自由場は、その運動方程式が初期条件に基づいて一意的に解かれる線型偏微分方程式に依存しています。これは古典場の特性を表現するものであり、基本的に「自由」とは外部からの影響を受けない状態を意味します。しかし、量子場理論においては、自由場は「作用素に値を持つ超函数」（operator valued distribution）として扱われます。このアプローチでは、古典場に対応する同様の線型偏微分方程式が依然として関与し、特定のラグランジアンに基づいたオイラー-ラグランジュ方程式の成り立ちが求められます。

超函数の微分は、通常のテスト函数の微分と同様に定義されますが、ここで扱うのは超函数そのものではなく、作用素に結びついた形のものです。したがって、これらの線型PDEは、特定の状態に制約されるのではなく、乱された場同士の相関によって表現されています。加えて、相互作用のある場の交換関係は、ボソン場の場合には交換関係が適用され、フェルミオン場では反交換関係が適用されます。

正準交換関係とその重要性

自由場は正準交換関係を満たすことが特徴です。これは、ボゾン場の場合には交換関係、フェルミオン場の場合には反交換関係が成立します。数理的には、これらの関係はCCR/CAR代数（可換・非可換代数）の形を持ち、無限自由度のCCR/CAR代数は多くの非同値の既約なユニタリ表現を示します。これにより、理論をミンコフスキー空間上で定義する際に、真空状態を持つユニタリな既約表現を選択する必要性が生じます。

具体的な例

具体的な例として、φを作用素に値を持つ超函数とし、クライン・ゴルドン方程式を用いると、以下のように表現できます。

$$\partial^\mu \partial_\mu \phi + m^2 \phi = 0$$

この方程式はボゾン場の特性を示しています。さらに、この超函数はペイエールのブラケットΔによって定義され、次のような関係が成り立ちます。

$$\{\phi(x), \phi(y)\} = \Delta(x; y)$$

また、正準交換関係は次の式で表されます。

$$[\phi[f], \phi[g]] = i \Delta[f, g]$$

ここで、Δは二つの引数を取る超函数として、特に乱される可能性があります。加えて、時間順序積作用素Tを考慮した場合、以下のように記述できます。

$$\mathcal{T}\{[((\partial^\mu \partial_\mu + m^2)\phi)[f], \phi[g]]\} = -i \int d^dx f(x) g(x)$$

この式は、物理学における自由場の理論における重要な側面を示しており、場の性質を解析するための強固な基盤を形成します。

まとめ

自由場は、物理学の根底にある重要な概念であり、相互作用のない状態を理論的に探求する手段を提供します。この基本的な理解は、複雑な物理現象を研究する上で不可欠であり、場の量子論における深い洞察を得るための出発点と考えられます。

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