証明可能性論理

証明可能性論理とは

証明可能性論理（Provability logic）は、数学及び論理学の一分野で、証明可能性や論理的妥当性を形式化するためのツールとして用いられます。この論理体系は、特にペアノ算術のような豊かな形式理論の中での「証明可能である」という命題を表現することを目的としています。このような論理の中心的な要素は、ボックス演算子（又は「必然性」演算子）を使って「〜は証明可能である」という意味を持たせることにあります。

基本的な体系

証明可能性論理には、多くの異なる体系が存在しますが、その中の基本的なものには、GL（Gödel-Löb）、L、およびK4Wが挙げられます。これらの体系は、通常の論理KもしくはK4に対してLöbの定理の様相的なバージョンを追加することによって得られます。この論理の展開は、1976年にRobert M. Solovayによって開始されました。その後、証明可能性論理に関する研究を進めたのは、George Boolosという著名な学者です。彼は1996年まで、この分野において主導的な役割を果たしました。

主要な貢献者

証明可能性論理の発展に寄与した研究者たちは多数います。Sergei Artemov、Lev Beklemishev、Giorgi Japaridze、Dick de Jongh、Franco Montagna、Giovanni Sambin、Vladimir Shavrukov、Albert Visserといった名前は特に重要で、彼らはそれぞれ異なる角度からこの分野において影響を与えてきました。

解釈可能性論理

さらに、証明可能性論理には「解釈可能性論理」と呼ばれる自然な拡張も存在します。この論理は、証明可能性の概念に対する解釈を広げ、より多様な状況での使用を可能にします。

参考文献

証明可能性論理に関心を持つ方のために、以下の文献も参考にしてみてください。これらの文献は、証明可能性論理の基礎を学ぶ上で非常に役立つ情報と洞察を提供しています。

• - George Boolos著『The Logic of Provability』、Cambridge University Press、1993年。
• - Giorgi JaparidzeとDick de Jonghによる『The logic of provability』、S. Buss編『Handbook of Proof Theory』、Elsevier、1998年。
• - Sergei ArtemovとLev Beklemishevの共著『Provability logic』、D. GabbayとF. Guenthner編『Handbook of Philosophical Logic』、Springer、2005年。
• - Per Lindströmによる「Provability logic - a short introduction」、Theoria 62 (1996)、19-61ページ。
• - Craig Smoryńskiの著作『Self-reference and modal logic』、Springer、Berlin、1985年。
• - Robert M. Solovayの論文「Provability Interpretations of Modal Logic」、Israel Journal of Mathematics、Vol. 25 (1976)：287-304。
• - 『Stanford Encyclopedia of Philosophy』における証明可能性論理に関する解説。

このように、証明可能性論理の研究は、形式論理や数学基礎論における新たな視点を提供し、深い哲学的及び論理的な問題への理解を深める手助けとなります。

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