退化分布

数学の分野における退化分布（たいかぶんぷ、英: degenerate distribution）は、確率変数が特定のただ一つの値以外を取り得ないという、極めて限定的な確率分布を指します。これは、結果が常に一定となるような、ランダム性のない極端な状況を数学的に表現するものです。

例えば、両面が「表」になっている特別なコインを投げた場合や、全ての面に同じ数字が書かれたサイコロを振った場合を考えてみてください。これらの例では、どのような試行を行っても結果は常に一つに決まります。このような状況は、日常的な感覚で「ランダム」とは考えにくいかもしれませんが、確率変数の定義を満たしており、確率論の厳密な枠組みの中で扱うことができます。

退化分布では、確率の総量が実数直線上の特定の一点、例えば k₀ に完全に集中しています。つまり、確率変数が取りうる値は k₀ だけであり、それ以外の値を取る確率はゼロです。

この分布の確率的な性質は、確率質量関数（PMF）と累積分布関数（CDF）によって記述されます。

確率質量関数は、確率変数が特定の値 k を取る確率を示します。退化分布の場合、確率質量関数 f(k; k₀) は、k が特定の点 k₀ と等しい場合に限り 1 となり、それ以外の k では全て 0 となります。これは、値 k₀ を取る確率が1（100%）、それ以外の値を取る確率が0であることを意味します。

累積分布関数は、確率変数が値 k 以下を取る確率を示します。退化分布の累積分布関数 F(k; k₀) は、k が k₀ より小さい場合は 0 となり、k が k₀ と等しいかそれより大きい場合は 1 となります。この関数は、ちょうど点 k₀ で値が 0 から 1 へと跳ね上がる、階段状のグラフになります。これは特に、ヘヴィサイドの階段関数を横に移動させたものと見なせます。

退化分布は、一定の確率変数（constant random variable）という概念と深く関連しています。一定の確率変数とは、確率空間上のどのような結果（事象）が生じても、その確率変数の値が常に同じ定数値を取る場合を言います。

これと似ているものの、数学的にはわずかに区別される概念に、「ほとんど確実に一定（almost surely constant）」な確率変数があります。こちらは、確率変数が定数 c 以外の値を取る可能性も数学的にはゼロではない（つまり、値が c と異なる事象集合が存在しうる）ものの、そのような事象が起こる確率がゼロである場合を指します（厳密には Pr(X=c) = 1 となる c が存在する場合）。

定義上、一定の確率変数は必ずほとんど確実に一定ですが、その逆は常に成り立つとは限りません。ほとんど確実に一定である確率変数は、確率ゼロの例外的な事象集合上でのみ、値が定数から外れるということがあり得ます。

しかしながら、実用的な場面において、これらの二つの概念を区別することはほとんどありません。なぜなら、確率的な振る舞いを記述する上で最も重要な確率質量関数や累積分布関数は、どちらの場合でも全く同じ形となるからです。したがって、退化分布やそれに相当する「一定の確率変数」は、確率論の枠組みの中で数学的な定数を自然に扱うための便利なツールとなります。

関連する概念としては、一点に集中した分布を表す抽象的な数学的ツールであるディラックのデルタ関数が挙げられます。退化分布は、確率論においてこのデルタ関数の考え方を具体化したものと見なすことができます。

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