連続線型拡張

連続線型拡張

数学、特に関数解析学の分野において、「連続線型拡張」とは、線型変換の定義域を拡大する重要な手法の一つを指します。

概念

完備なノルム空間 `X` 上で定義される線型変換を考察する際、しばしばその空間全体で直接定義するのではなく、まずその空間 `X` の中に含まれる、ある種の「稠密な」部分空間 `S` 上で線型変換 `T` を定義することが効率的である場合があります。ここで言う「稠密」とは、空間 `X` の任意の点が、部分空間 `S` の要素によっていくらでも近く近似できる性質を指します。

連続線型拡張とは、このように稠密な部分空間 `S` 上で定義された線型変換 `T` を、元の空間 `X` 全体へと拡張するプロセスです。この拡張によって得られる新たな変換は、元の変換 `T` の定義域を `X` 全体に広げたものであり、元の変換が持っていた「線型性」という性質はもちろんのこと、「有界性」（したがって「連続性」）という重要な性質も同時に保たれます。

この手法の意義は、扱いやすい部分空間で定義された変換の性質を、より複雑な元の空間全体に引き継がせることができる点にあります。

BLT定理

この連続線型拡張の正当性や、拡張された変換の性質を保証する基本的な定理として、「有界線型変換定理」、あるいはその頭文字をとって「BLT定理」として知られる定理があります。この定理は、完備なノルム空間 `X` の稠密な部分空間 `S` 上で定義された有界線型変換 `T` があれば、その変換を空間 `X` 全体へと一意的に拡張することができ、その拡張された変換もまた有界であることを主張しています。

「有界」であることと「連続」であることは、ノルム空間上の線型変換においては同値であるため、この定理はまさに有界（連続）な線型変換を連続的に拡張できることを保証していると言えます。

応用例：リーマン積分

連続線型拡張の考え方は、数学の様々な場所で応用されています。その代表的な例の一つに、リーマン積分の定義があります。

閉区間 `[a, b]` 上で定義される関数の積分を考えましょう。積分を最初に定義する対象として、非常に単純な構造を持つ「階段関数」という関数群を考えます。階段関数とは、区間 `[a, b]` をいくつかの小区間に分け、それぞれの小区間では定数となるような関数です。階段関数の積分は、各小区間での関数の値にその小区間の長さを掛け合わせたものの合計として、簡単に定義できます。この積分操作は、階段関数全体の空間上で定義された線型変換であり、適切なノルム（例えば`L^∞`ノルム）を考えると、この変換は有界であることが示せます。

一方、積分を定義したい対象は、階段関数だけではなく、より一般的な連続関数や区分的連続関数などを含む広い関数空間です。重要なのは、階段関数全体の空間は、このようなより広い関数空間（例えば、閉区間上の区分的連続かつ有界な関数全体の空間）の中で稠密な部分空間となっているという事実です。

ここでBLT定理が登場します。階段関数上で定義された有界な積分操作を、この階段関数空間が稠密であるより広い関数空間全体へと拡張するためにBLT定理が用いられます。この拡張によって得られた変換こそが、区分的連続関数などに対しても適用できるリーマン積分となるのです。すなわち、連続線型拡張の概念を用いることで、単純な関数（階段関数）で定義した積分を、より複雑な関数へと自然に拡張し、リーマン積分の定義を確立することができます。

ハーン＝バナッハの定理との関連

BLT定理は、定義域が空間全体で「稠密」である場合に有効な拡張定理です。もし元の定義域が稠密でない場合は、BLT定理を直接適用することはできません。しかし、このような場合でも、別の重要な定理であるハーン＝バナッハの定理を用いることで、線型変換（特に線型汎関数）の拡張が存在することを示すことができる場合があります。ただし、ハーン＝バナッハの定理による拡張は、必ずしも元の変換を定義した部分空間の閉包全体への拡張であるとは限らず、また、拡張された変換が一意である保証もありません。この点が、定義域の稠密性を前提とし、一意かつ連続な拡張を保証するBLT定理との違いです。

連続線型拡張は、抽象的なノルム空間上の線型作用素を扱う上で、その性質をより広い範囲で保持するために不可欠な道具であり、リーマン積分のような具体的な理論の構築にも深く関わっています。

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