量子情報

量子情報とは

量子情報は、量子状態が持つ情報を指します。従来の情報理論におけるシャノンエントロピーに対し、量子情報理論では密度行列のフォン・ノイマンエントロピーが情報量の基本的な指標として用いられます。このフォン・ノイマンエントロピーは、ある密度行列 
ho に対して以下のように定義されます。

$$S = - ext{tr}(
ho ext{log}
ho)$$

量子情報と古典的情報の違い

一般的に、量子情報でないものは古典的情報と呼ばれます。古典的情報は、理論計算機科学の領域で 0 と 1 の二値（ビット）によって表現されます。一方、量子情報はこれらのビットだけでなく、それらの重ね合わせの状態も含むことが特徴です。これを量子ビット（qubit）と呼びます。

また、量子情報は古典情報とは異なり、任意の状態を複製することができず、観測された瞬間にその量子状態が破壊されるという性質を持ちます。

更に、互いに直交する状態
$$egin{pmatrix}|i
angle ext{が確率} p_iで混合された量子状態のフォン・ノイマンエントロピーは、シャノンエントロピーと等しいことがわかります。$$

量子状態の例

量子情報は、様々な具体的な量子状態によって表現できます。たとえば、量子ビットの情報量を持つ状態は以下のように定義されます。

$$| ext{Ψ}
angle = a|0
angle + b|1
angle$$

また、2つのスピンを持つエンタングルメント状態も一つの例です。

$$| ext{Ψ}
angle = rac{1}{ ext{√2}}ig( |↑
angle_{A} igotimes |↓
angle_{B} oldsymbol{ ext{±}} |↓
angle_{A} igotimes |↑
angle_{B}ig)$$

この場合、Aのスピンを測定することでBのスピンの状態も知れることになります。

エンタングルメント・エントロピー

量子情報の他の重要な指標の一つにエンタングルメント・エントロピーがあります。これは、AB間に存在するベル状態の平均の数、すなわち量子エンタングルメントの大きさを測る量です。また、量子多体系エンタングルメントとブラックホール情報エントロピーの関連性についても、研究が進められています。

テンソルネットワーク

量子ビットの集合体や量子多体系の低エネルギー状態は、テンソルネットワークという幾何学的手法を用いて高精度に近似することが可能です。この方法は、複数のテンソルを特定のパターンで縮約し、多体系の状態や演算を効率よく表現する手法としての注目を集めています。特に、MERA（Multiscale Entanglement Renormalization Ansatz）と呼ばれる種類のテンソルネットワークは、AdS時空の離散的なモデルになっている可能性が示唆されています。

量子情報の応用

量子情報技術がもたらす革新の一つは、量子コンピュータの発展です。量子コンピュータは、複数の情報を重ね合わせた状態で同時に処理を行う能力を持ち、特に素因数分解などの計算において高速化が期待されています。しかし、古典的コンピュータと比較し、量子コンピュータが得意とする問題の性質についてはまだ十分に解明されていない部分もあります。また、誤り訂正や外部ノイズによる問題も多く残されています。

加えて、量子暗号技術では、量子情報の観測が重ね合わせ状態を収縮させる特性を利用することで、盗聴を防ぐ強固な通信手段を提供します。その結果、従来の暗号通信では実現できない高いセキュリティを確保できる可能性があります。

2016年8月16日、世界初の量子通信衛星「墨子号」が中国によって打ち上げられ、この分野の重要なステップとなりました。現代の数理情報学やコンピュータ科学の領域では、人工神経回路網の重み行列とテンソルネットワークとの関連性についても活発な研究が行われており、さらなる融合と進化が見込まれています。

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