閉値域の定理

閉値域定理：バナッハ空間における重要な定理

数学において、特に関数解析の分野で重要な役割を果たす定理の一つに、閉値域定理があります。これは、バナッハ空間上の閉作用素の値域がいつ閉集合となるかを記述する定理であり、その応用範囲は広く、様々な問題の解決に役立ちます。

定理の概要

閉値域定理は、簡単に言うと、バナッハ空間Xからバナッハ空間Yへの線形閉作用素Tの値域R(T)がYにおいて閉集合となるための必要十分条件を与えます。この定理は、作用素Tとその共役作用素T'（転置作用素）の値域と核（零空間）の関係性を巧みに利用して、条件を幾つか同値な形で表現します。

具体的には、XとYをバナッハ空間、T:D(T)→YをXにおいて稠密な定義域D(T)を持つ線形閉作用素とします。このとき、次の4つの条件は互いに同値となります。

1. Tの値域R(T)はYにおいて閉集合である。
2. T'の値域R(T')はX'（Xの双対空間）において閉集合である。
3. R(T) = N(T')⊥ ここで、N(T')はT'の核（零空間）、⊥は直交補空間を表します。これは、R(T)がN(T')の直交補空間と一致することを意味します。
4. R(T') = N(T)⊥ これは、R(T')がN(T)の直交補空間と一致することを意味します。

これらの条件は、Tの値域の閉性と、その共役作用素T'の値域の閉性の間に密接な関係があることを示しています。

系（系定理）

閉値域定理から、いくつかの重要な系が導かれます。例えば、稠密に定義された閉作用素Tに対して、R(T) = Yとなることと、T'が連続な逆作用素を持つことは同値です。同様に、R(T') = X'となることと、Tが連続な逆作用素を持つことは同値です。これらの系は、作用素の可逆性と値域の性質を結びつける重要な結果です。

応用

閉値域定理は、関数解析における様々な問題に適用されます。例えば、偏微分方程式の解の存在と一意性、最適制御問題、関数空間上の作用素の性質の解析など、幅広い分野で活用されています。この定理は、抽象的な関数空間上の作用素の性質を解析するための強力なツールであり、現代数学において重要な役割を果たしています。

歴史的背景

閉値域定理は、ステファン・バナッハによって1932年の論文"Théorie des opérations linéaires"で証明されました。これは、関数解析の発展において重要なマイルストーンであり、その後多くの研究者によって発展と応用が続けられています。

関連概念

閉値域定理を理解するためには、バナッハ空間、線形作用素、閉作用素、双対空間、直交補空間などの概念を理解しておく必要があります。これらの概念は、関数解析の基礎をなす重要な概念であり、閉値域定理の理解を深めるために、これらの概念についても学ぶことが重要です。

参考文献

Yosida, K. (1980), Functional Analysis, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Fundamental Principles of Mathematical Sciences), vol. 123 (6th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag.

関連項目

線形代数学の基本定理、バナッハ空間、ヒルベルト空間、関数解析

もう一度検索