関係 (数学)

集合とその関係の概要

集合における関係とは、複数の集合の直積から得られる部分集合を指します。具体的には、集合 X1, …, Xk について、その直積 X1 × … × Xk の部分集合 L が関係 L に当たります。この関係は、含まれる集合の数 k によって異なる分類がされます。以下に、各関係の種類を詳しく説明します。

単項関係

まず、単項関係について考察します。単項関係は通常 Lu で表され、一つの集合の要素を要素とする属性や性質を示します。例として、集合 X の中の特定の性質をもつ要素を選び出すことができます。

二項関係

次に、二項関係についてですが、これは Luv または uLv で示されます。二項関係は、2つの集合の要素間の関係性を表します。例えば、X1 の要素と X2 の要素がどのように関連付けられるかを示すものです。この関係は、身近な例として親子関係や友好関係など幅広い場面で観察されます。

三項関係

三項関係は Luvw と表現され、3つの集合から成る要素間の関りを探ることができます。これは、日常生活や学問の中でも重要な役割を果たします。たとえば、AがBをCに紹介するような、3つの異なる対象が連鎖的に関連する状況を想定できます。

四項関係

最後に、四項関係 Luvwx について説明します。四項関係は4つの集合間の関連を示すもので、より複雑な相互作用を表現します。これは、きわめて多様な情報が交差する状況で、特に情報工学や論理学の分野では重要なテーマです。

定義域

関係が定義される集合群 X1, …, Xk は定義域と呼ばれます。特に、全ての Xj が同一の集合 X で構成される場合、その関係は X 上の k 項関係と見なされます。この考え方は、集合論における重要な基本概念です。

結論

関係は、集合論や論理学における重要な要素であり、日常の様々な状況へと応用されています。単項から四項に至る関係の理解は、複雑な情報の整理や解析に寄与します。数学的な知識を深めることで、これらの関係を活かした問題解決が可能となるでしょう。

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参考文献

• - Peirce, C.S. (1870), "Description of a Notation for the Logic of Relatives, Resulting from an Amplification of the Conceptions of Boole's Calculus of Logic".
• - Ulam, S.M. and Bednarek, A.R. (1990), "On the Theory of Relational Structures and Schemata for Parallel Computation".

外部リンク

• - Relation - MathWorld
• - relation in nLab
• - relation - PlanetMath
• - Definiton:Relation at ProofWiki
• - Smirnov, D.M. (2001) [1994], "Relation", Encyclopedia of Mathematics.

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