関数の極限

関数の極限：値の収束と発散

関数の極限とは、簡単に言うと、関数の変数をある値に限りなく近づけたときに、関数の値がどのような値に近づくか、あるいはどのように変化するかを記述する概念です。これは微積分学の基礎となる重要な概念であり、関数の連続性、微分、積分などの理解に不可欠です。

極限の定義

関数 f(x) において、変数 x がある値 c に近づくときの f(x) の極限を L とすると、以下の式で表されます。

\( \lim_{x \to c} f(x) = L \)

これは、x が c に限りなく近づくにつれて、f(x) の値が L に限りなく近づくことを意味します。

この定義は、イプシロン-デルタ論法を用いて厳密に表現できます。任意の正の数 ε > 0 に対して、ある正の数 δ > 0 が存在し、0 < |x - c| < δ ならば |f(x) - L| < ε が成り立つとき、極限値 L が存在すると言えます。

極限と連続性

関数が x = c で連続であるとは、以下の条件が満たされることを意味します。

\( f(c) = \lim_{x \to c} f(x) \)

つまり、関数 f(x) の x = c における値が、x が c に近づくときの極限値と一致するということです。しかし、極限値が存在しても、関数がその点で連続とは限りません。関数の値が極限値と異なる場合、その点は不連続点と呼ばれます。

例：極限値の計算

例えば、関数 \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) の x → 2 のときの極限値を考えてみましょう。x が 2 に近づくにつれて、f(x) の値は 0.4 に近づいていきます。したがって、

\( \lim_{x \to 2} f(x) = 0.4 \)

となります。この場合、f(2) = 0.4 となり、関数は x = 2 で連続です。

しかし、関数 \( g(x) = \begin{cases} \frac{x}{x^2 + 1} & (x
eq 2) \\ 0 & (x = 2) \end{cases} \) の x → 2 のときの極限値は 0.4 です。しかし、g(2) = 0 となり、\lim_{x \to 2} g(x)
eq g(2) なので、この関数は x = 2 で不連続です。

無限大への発散

x が c に近づくとき、f(x) の値が限りなく大きくなる場合、f(x) は正の無限大に発散すると言います。

\( \lim_{x \to c} f(x) = \infty \)

同様に、f(x) の値が限りなく小さくなる場合、f(x) は負の無限大に発散すると言います。

\( \lim_{x \to c} f(x) = -\infty \)

無限遠点における極限

x が正の無限大または負の無限大に近づくときの関数の極限も定義できます。例えば、x → ∞ のときの極限は次のように表されます。

\( \lim_{x \to \infty} f(x) = L \)

これは、x が十分大きくなると、f(x) の値が L に近づくことを意味します。無限遠点における発散も同様に定義できます。

まとめ

関数の極限は、関数の挙動を理解する上で非常に重要な概念です。イプシロン-デルタ論法を用いた厳密な定義、連続性との関係、無限大への発散、無限遠点における挙動などを理解することで、微積分学のより深い理解へと繋がります。

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