零因子

環の零因子について

抽象代数学では、環の零因子（れいいんし、英: zero divisor）と呼ばれる概念が存在し、これは環内で特定の性質を持つ元のことを指します。具体的には、ある元が零以外の元と掛け算した際に結果が零になる場合、その元は零因子と見なされます。この定義により、零因子は環の乗法における特別な性質を持つ元として扱われます。

定義

環 R の元 a が零因子であるとは、次の条件を満たすときです：

• - ある元 x が存在して、x は零でなく、かつ a と x の積が零になる。すなわち、次の式が成り立ちます：

\[ ax = 0 \]


この定義から、a に対して x ≠ 0 という条件が求められます。すると、特に自明な環（全ての元が零の環）では、0は零因子にはならず、他の環では0は常に零因子となります。このように、環の構造により零因子の定義や特性は異なることがあります。

特に重要なのは、左零因子（ひだりれいいんし、英: left zero divisor）と右零因子（ひだりぜろいんし、英: right zero divisor）の概念です。左零因子は、ある元 x が存在して ax = 0 となる場合に該当します。他方で、右零因子は ya = 0 となるような y ≠ 0 が存在する場合を指します。

これらの元を合わせて零因子と呼ぶことができ、場合によっては左かつ右両方の零因子である元を両側零因子（two-sided zero divisor）と区別します。ただし、環が可換であるときは、左零因子と右零因子は同じものとなり、両者が同じ性質を持つことがわかります。

これに対し、環の中で零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）とも呼ばれます。さらに、零でない零因子は非自明な零因子（nontrivial zero divisor）または単に非零因子と呼ばれることもあります。

結論

このように、環の零因子は抽象代数学において重要な役割を担っており、他の数理的構造にも影響を与えます。零因子の概念は、環の理解を深めるための基礎となるため、その特性や例について学ぶことは非常に価値があります。これにより、環やその他の代数的概念に対する認識が豊かになるでしょう。

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