1の分割

数学において、位相空間 X 上の「1の分割（いちのぶんかつ、英: partition of unity）」とは、X から単位閉区間 [0, 1] への連続関数の族（集合）を指します。この関数の族は、空間 X の任意の点 x に対して、次の二つの条件を満たさなければなりません。

1. 局所有限性: 点 x のある近傍（周りの開集合）が存在し、その近傍内でゼロでない値をとる関数は、族の中に有限個しか存在しない。
2. 総和が1: 点 x における族に属するすべての関数の値の合計が常に 1 となる。数学的に表現すると、$\;\sum_{\rho \in R} \rho(x) = 1$ となります。

1の分割は、局所的に定義された性質や構成を、位相空間全体に自然に拡張することを可能にするため、数学において非常に有用な道具となります。その応用は、データ補間（内挿）、信号処理、コンピュータグラフィックスで用いられるスプライン曲線の理論など、多岐にわたります。

存在について

1の分割の存在については、主に二つの異なる形式が考えられます。これらの形式は、与えられた開被覆との関連で定義されます。

開被覆に属する形式: 空間 X の任意の開被覆 {Ui} が与えられた際に、その開被覆に「属する」1の分割 {ρi} が存在するという形式です。これは、各関数の台（関数が非ゼロとなる領域の閉包）supp ρi が、対応する開集合 Ui の内部に含まれることを意味します。
コンパクト台を持つ形式: 任意の開被覆 {Ui} に対して、各関数 ρj がコンパクトな台を持ち、かつそれぞれの台 supp ρj が元の開集合族のいずれか一つの内部に含まれるような1の分割 {ρj} が存在するという形式です。

空間自身がコンパクトである場合、これら両方の条件を満たす1の分割が存在します。特に、空間が局所コンパクトかつハウスドルフ空間であれば、任意の有限開被覆に対して、それに属する連続な1の分割が必ず構成できます。空間がパラコンパクトであることは、任意の開被覆に属する1の分割が存在するための必要条件の一つです。特定の圏においては十分条件ともなります。

このような分割は、一般的に「軟化子（softener）」や「隆起関数（bump function）」と呼ばれる特別な関数を用いて構成されます。これらの関数は、連続で滑らかな多様体上では存在しますが、解析的多様体のようなより厳しい正則性が要求される空間では、一般には存在しないことに注意が必要です。したがって、解析的多様体の開被覆に対して、それに属する解析的な1の分割は通常存在しません。

また、空間 X と Y の1の分割がそれぞれ R と S として与えられた場合、それらの元ごとの積からなる集合 {ρσ : ρ ∈ R ∧ σ ∈ S} は、直積空間 X×Y の1の分割となります。

異なる定義と正規化

より制限の少ない定義が使われることもあります。これは、空間の各点においてすべての関数値の総和が1であることではなく、正であることだけを要求するものです。しかし、このような関数の族が与えられた場合でも、各点をゼロとするすべての関数の総和でそれぞれの関数値を割ることで、強い意味での1の分割を構成することができます。これは、局所有限性の条件から総和がゼロにならないため可能です。

応用例

1の分割は、数学の様々な分野や関連技術で活用されています。

多様体上の積分: 多様体上の関数の積分を定義する際に、1の分割は基礎的な役割を果たします。まず、座標近傍内に関数の台が収まる場合の積分を定義し、次に1の分割を用いて任意の関数の積分を定義し、その定義が一の分割の選択に依らないことを示します。
リーマン計量の存在: 任意の多様体上にリーマン計量（距離や角度を測るための構造）が存在することを証明するためにも利用されます。
積分の漸近展開: 積分の漸近展開を構成する手法である最急降下法（鞍点法）においても応用が見られます。
信号処理: 信号処理分野では、リンクウィッツ・ライリーフィルターが1の分割の概念を応用して、入力信号を特定の周波数成分（高域または低域）を持つ二つの出力信号に分離するために使われています。
* 多項式近似: コンピュータグラフィックスや数値解析で使われるバーンスタイン多項式も、特定の次数 m における多項式全体が、単位区間 [0, 1] 上の1の分割を構成する例として知られています。

これらの応用例からもわかるように、1の分割は局所的な情報を全体に統合するための強力なツールであり、純粋数学から応用分野に至るまで幅広く利用されています。

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