Carhartの4ファクターモデル

Carhartの4ファクターモデルについて

Carhartの4ファクターモデルは、株式の期待収益率をより正確に説明するために1997年にMark Carhartによって提案されたモデルです。このモデルは、株式の収益率のクロスセクションにおける構造を理解するための重要な枠組みを提供します。特に、ファーマ＝フレンチの3ファクターモデルにモメンタム効果を加えた形で構築されている点が特徴です。

モデルの基本構造

Carhartの4ファクターモデルでは、特定の株式iの期待収益率は次のように定式化されています。

$$ R_i - r = β_{i}^{MKT}(R_M - r) + β_{i}^{SMB}SMB + β_{i}^{HML}HML + β_{i}^{MOM}MOM $$

ここで、

• - $r$ は安全資産の金利、
• - $R_M$ は市場ポートフォリオに対する期待収益率を示しています。
• - $SMB$（Small Minus Big）は市場の時価総額に関するリスクファクター、
• - $HML$（High Minus Low）は簿価時価比率に基づくリスクファクター、
• - $MOM$（Momentum）はモメンタム効果を表すリスクファクターです。

それぞれの$β$は、これらのリスクファクターに対する各株式の感応度を示します。このモデルは、特に市場ポートフォリオと比較して、各ファクターの影響を評価するために用いられます。

モメンタム効果について

モメンタム効果は、過去にリターンが高かった株は将来的にも高リターンを維持する傾向があり、逆に低リターンの株は将来的にも低リターンである傾向があるという現象を指します。この現象は、1993年にNarasimhan JegadeeshとSheridan Titmanによって証明されました。彼らは、高リターンの上位10%の株のポートフォリオを買い、逆に低リターンの下位10%の株を空売りすることで、過去のリターンがパフォーマンスにどのように関連するかを統計的に示しました。

4ファクターモデルでは、ファーマ＝フレンチの3ファクターモデルでは説明できなかったこのモメンタム効果を捉えるためのファクターが新たに追加されています。Carhartの研究は、投資信託のパフォーマンスの持続性をこのモデルで説明できることを示しました。

モデルの推定方法

Carhartの4ファクターモデルは、線形回帰を用いた最小二乗法によって推定されます。具体的には、次の回帰式を通じて実行されます。

$$ R_{i,t} - r = α_i + β_{i}^{MKT}(R_{M,t} - r) + β_{i}^{SMB}SMB_t + β_{i}^{HML}HML_t + β_{i}^{MOM}MOM_t + ε_{i,t} $$

ここで、$R_{i,t}$は時点tで観測された株式iの収益率、$SMB_t$と$HML_t$はそれぞれ時価総額リスクファクターおよび簿価時価比率リスクファクターの収益率を示します。また、$MOM_t$は後述の方法で作成されるモメンタム効果リスクファクターです。

市場ポートフォリオは時価総額加重平均で構成され、時価総額リスクと簿価時価比率リスクはファーマ＝フレンチの3ファクターモデルに基づいて計算されます。モメンタム効果に関連するリスクファクターは、指定された期間における全株式の収益率を基に算出されます。過去11か月間の収益率を分析し、上位30%の株式のポートフォリオと、下位30%のポートフォリオを作成することで得られた結果がモメンタム効果を反映します。

このように、Carhartの4ファクターモデルは、株式市場における期待収益率をより詳細に理解する助けとなる重要なツールとして位置付けられています。

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