FDTD法

FDTD法（時間領域差分法）とは

FDTD法（Finite-difference time-domain method）は、電磁気学におけるマクスウェル方程式を数値的に解くための計算手法の一つです。日本語では「時間領域差分法」や「有限差分時間領域法」と呼ばれることもありますが、一般的にはFDTD法という名称が広く用いられています。

FDTD法の基礎

FDTD法は、電磁場を時間と空間で離散化し、マクスウェルの方程式を差分方程式で近似することで電場と磁場の値を計算します。具体的には、以下のマクスウェル方程式を基本としています。

1. ファラデーの電磁誘導の法則:
∇ × E = - ∂B / ∂t

2. アンペールの法則:
∇ × H = ∂D / ∂t + J

ここで、E は電場、H は磁場、B は磁束密度、D は電束密度、J は電流密度を表します。これらの式に、以下の関係式を適用します。

3. 電束密度と電場の関係:
D = εE

4. 磁束密度と磁場の関係:
B = μH

5. オームの法則:
J = σE

これらの関係式をマクスウェル方程式に代入すると、以下の式が得られます。

6. ∇ × E = -μ ∂H / ∂t

7. ∇ × H = ε ∂E / ∂t + σE

これらの式を、Yee格子と呼ばれる空間配置を用いて差分化し、時間ステップごとに逐次計算することで、電磁場の時間変化を数値的にシミュレーションします。

Yee格子

Yee格子は、電場と磁場を空間的にずらして配置する格子構造であり、FDTD法の計算精度を向上させるために重要な役割を果たします。電場と磁場を交互に配置することで、数値計算における誤差を低減することができます。

吸収境界条件

FDTD法を用いたシミュレーションでは、計算領域の境界で電磁波が反射してしまうと、正しい計算結果が得られません。そのため、境界における電磁波の反射を抑制する吸収境界条件が不可欠です。吸収境界条件には、主に以下の二つのアプローチがあります。

1. 近似的な微分方程式による方法:
このアプローチでは、吸収境界での反射がないという仮定に基づいた近似的な微分方程式を用いて、境界での反射を抑制します。代表的な例として、Murの吸収境界条件があります。

2. 仮想的な媒質を配置する方法:
このアプローチでは、境界付近に仮想的な媒質を配置し、入射する電磁波を減衰させることで反射を抑制します。BerengerのPML（Perfectly Matched Layer）吸収境界条件が代表例です。

FDTD法の応用

FDTD法は、電磁波の伝播や散乱現象を解析するための強力なツールであり、アンテナ設計、マイクロ波回路、光デバイス、生体電磁場解析など、幅広い分野で応用されています。

関連技術

Yee格子: FDTD法で使用される空間格子。
散乱界表示: 散乱現象を解析するための手法。
遠方界: 電磁波が遠方に伝播した際の電磁場。
サブセル法/サブグリッド法: より細かい構造を効率的に解析するための手法。

まとめ

FDTD法は、電磁気学における重要な数値計算手法であり、電磁波の挙動をシミュレーションするための強力なツールです。その応用範囲は広く、現代の様々な技術開発に貢献しています。

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