KdV方程式

KdV方程式

KdV方程式（コルトヴェーグ・ドフリース方程式、英: KdV equation）は、非線形波動現象を記述するための重要な非線形偏微分方程式の一つです。この方程式は、オランダの物理学者D.J.コルトヴェーグとヘンドリック・デ・フリースが1895年に浅水波の研究から導出したことにその名を由来します。特に、形を保ったまま伝播する孤立波であるソリトン解を持つことで広く知られ、可積分系と呼ばれる数学的に特別な非線形システムの代表例として、数理物理学や応用数学など様々な分野で研究の中心となっています。

方程式の形式

KdV方程式は、時間 $t$ と空間 $x$ の一次元実数値関数 $u(x, t)$ に対して、以下の形で表されます。
$$ \frac{\partial u}{\partial t} + \alpha u \frac{\partial u}{\partial x} + \beta \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} = 0 $$
ここで、$\alpha$ と $\beta$ は定数です。適切なスケール変換により、しばしば $u_t + 6uu_x + u_{xxx} = 0$ という標準形が用いられます。この式の $uu_x$ 項は非線形効果を、$u_{xxx}$ 項は分散効果を記述します。KdV方程式の解が形を保って伝播するのは、これら非線形効果と分散効果が互いに釣り合うためです。

歴史的背景

KdV方程式の研究史は、19世紀の孤立波の観察に始まります。1834年、スコット・ラッセルは運河で孤立波を発見し、その速度が波の高さに依存することを見出しました。彼の発見は当時の科学界で論争を呼びましたが、1895年にコルトヴェーグとド・フリースがKdV方程式を導き、孤立波解が存在することを数学的に示しました。しかし、彼らの研究はすぐには注目されませんでした。

KdV方程式が再び脚光を浴びたのは、それから約70年後の1965年です。ザブスキーとクルスカルは、非線形格子の研究中にKdV方程式の数値計算から、波が孤立波に分裂したり、孤立波同士が衝突しても波形が崩れないといった現象を発見し、これらの粒子性を帯びた波をソリトンと命名しました。この発見が、その後のソリトンおよび可積分系の研究の爆発的な発展を促すことになりました。

KdV方程式の解

KdV方程式は、特徴的なソリトン解をはじめとするいくつかの重要な解を持ちます。
ソリトン解: 形を保って伝播する孤立波です。一つだけの孤立波を表す1-ソリトン解は、振幅と速度が比例するという性質を示します。複数のソリトンが相互作用するN-ソリトン解は、ソリトンが衝突しても個性を保ってすり抜ける非凡な性質を表現します。
周期解: ソリトン解とは異なり、空間的に周期的な波を表す解も存在し、これはクノイダル波と呼ばれ、ヤコビの楕円関数で記述されます。

保存量

可積分系であるKdV方程式の重要な性質として、時間によって値が変化しない無限個の保存量を持つことが知られています。この性質は、1968年にミウラらによって発見されました。無限個の保存量の存在は、KdV方程式が数学的に「完全に解ける」システムであることや、ソリトンの安定性などと深く結びついています。

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