PH (計算複雑性理論)

複雑性クラスPHの概要

計算複雑性理論の世界では、複雑性クラスPH（Polynomial Hierarchy）は、多項式階層に存在する全ての複雑性クラスの集合として定義されています。PHは、数学的に次のように表されます。

$$
ext{PH} = igcup_{k ext{ ∈ } ext{N}} riangle_k^{ ext{P}}
$$

ここで、$k$は自然数を示し、$ riangle_k^{ ext{P}}$は多項式階層の一部を成すクラスです。このクラスは、計算理論における問題解決の枠組みを提供し、様々なアルゴリズムや計算モデルにおいて重要な役割を果たします。

PHの歴史

PHは、1976年にLarry Stockmeyerによって初めて定義され、以来この理論は計算複雑性の研究において中心的なテーマとなっています。その後、PHを含む複雑性クラスとして、PPP、P#P、およびPSPACEなどが挙げられています。これらのクラスは、特定の計算問題に料となり、理論と実践の接点を築いています。

PHの論理的特徴

PHの論理的な特徴付けは非常にシンプルです。PHは、二階述語論理で表現可能な全ての言明を網羅するクラスとして考えられます。これにより、PHは計算理論において重要かつ広範な問題を対象にしていることが特徴です。

特に、PHはPSPACEに含まれる多くの既知の複雑性クラスを包括しています。具体的には、PHは以下のクラスを含んでいます：

• - Pクラス（多項式時間内で解ける問題）
• - NPクラス（非決定性多項式時間で解ける問題）
• - co-NPクラス（NPの補問題）
• - 確率的クラスBPP（Bounded-error Probabilistic Polynomial time）
• - RPクラス（Randomized Polynomial time）

これらのクラスは、計算の複雑さの異なる側面を表しており、 PHはこれらを包括することで、複雑性理論の中核を成しています。

PとNP問題との関連性

PHに関連して、PとNPの関係が非常に興味深いものとなっています。PとNPの等価性を証明するための必要十分条件として、P=PHであることが指摘されています。言い換えると、PHからPを分離できれば、P≠NPの証明を簡略化できる可能性があるということです。この観点からも、PHは計算理論研究の熱い話題となっています。

参考文献

この理論に関する文献として、Stockmeyerの著書『The Polynomial Hierarchy』（1976年）が挙げられ、理論計算機科学の中でも高く評価されています。また、Complexity ZooではPHの詳細が幅広く考察されており、さらなる理解を深めるための良いリソースとなっています。

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