Q.E.D.

Q.E.D.の意味と歴史

Q.E.D.とは「Quod Erat Demonstrandum」の略であり、日本語では「かく示された」もしくは「これが示されるべき事であった」と訳されます。この言葉は、数学や哲学の証明過程において、議論や論証が無事に終了したことを示すためによく用いられます。特に現代の数学においてもその使い方は広く見受けられます。

起源と歴史

この表現はギリシャ語の「ὅπερ ἔδει δεῖξαι」（hoper edei deixai）が由来であり、中世の幾何学者たちによってラテン語に翻訳されました。このギリシャ語のフレーズは、古代の数学者であるユークリッドやアルキメデスによって使われていたことが知られています。特にユークリッドは、論理的な演繹に基づいて数学を構築することに注力していたため、Q.E.D.という表現の使用には彼の方法論が色濃く反映されています。

ルネサンス時代のヨーロッパでは、多くの数学書がラテン語で書かれていました。そのため、論証の最後には「quod erat demonstrandum」といった表現が頻繁に現れました。哲学的な議論においては、バールーフ・デ・スピノザの名作『エチカ』（1677年発表）が有名です。この書物では、演繹方法によって命題を提示し、最後にQ.E.D.で締めくくるスタイルが見受けられます。スピノザ自身はこのスタイルを「幾何学的な秩序によっている」と表現しており、彼の論証がより厳密な形で展開されることを重視していました。

類似の略語

同じような意味を持つが、使用頻度が低く異なる意味合いを持つラテン語の短縮形に「Q.E.F.」（Quod Erat Faciendum）があります。これは「これがなすべきことだった」と訳され、主に実行すべき作業の終わりを示します。この表現はギリシャ語の「ὅπερ ἔδει ποιῆσαι」（hoper edei poiēsai）に関連しており、ユークリッドなどが例示的な構成の結論として用いていました。Q.E.D.とQ.E.F.の主要な違いは、完全な証明と作図の課題に基づくものです。

Q.E.D.はさまざまな言語に翻訳されており、特にフランス語では「C.Q.F.D.」（ce qu'il fallait démontrer）、ドイツ語では「w. z. b. w.」（was zu beweisen war）と表記されます。日本語や英語では定まった訳語はありませんが、一般に「これで証明が完成する」といった一文が添えられることが多いです。

現代の使用と電子的な表現

近年、コンピュータベースの組版ソフトウェアが発展したことで、Q.E.D.の代わりに使用される記号も幾つか登場しています。その中でも特に有名なのは「墓石」（tombstone）または「ハルモス記号」と呼ばれる黒い四角（■）です。この記号は簡潔に証明の終了を示すために使用されます。また、白い四角（□）が推奨されることもあります。

Unicodeには、「証明終了」の記号としてU+220E（end of proof ∎）が正式に割り当てられていますが、U+25AE（黒い縦長の長方形 ▮）やU+2023（三角形の記号 ‣）なども代替として用いられることがあります。

このように、Q.E.D.は数学や哲学の世界において重要な役割を果たしており、その歴史と意義は今なお深く根付いています。

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