ZPP

ZPPについての解説

計算複雑性理論におけるZPPは、特定の確率的チューリング機械によって解決可能な問題群の複雑性クラスです。このクラスの特徴とは、常に正しい答えを提供する問題である点です。具体的には、「YES」または「NO」という解を返すもので、平均的には多項式時間内に処理を完了しますが、実行時間には制限が設けられていません。このような特性から、ZPPは「Zero-error Probabilistic Polynomial time」の略語であると言えます。

ZPPの問題を解決するアルゴリズムは、確率的な手法を用いて解を導きます。これにより、常に正確な解を提供する一方、場合によっては解を得るまでにより長い時間がかかることもあります。具体的には、入力長をnとしたとき、多項式p(n)に基づき、平均してp(n)未満の時間で結果を出すことが期待されます。

ZPPの定義

ZPPを定義する方法はいくつかありますが、以下の二つの定義が特に重要です。
1. ZPPに属する問題を解くアルゴリズムは、常に正しい解を提供することが保証される。
2. アルゴリズムは「YES」、「NO」、「DO NOT KNOW」のいずれかを返し、「DO NOT KNOW」でない場合には常に正しい解を出す。

「YES」が正解である場合は、少なくとも1/2の確率でその答えが返され、「NO」の場合も同様です。この両方の定義は等価であり、ZPPの特性をより深く理解する助けとなります。

クラスRPとCo-RPとの関係

ZPPは、確率的チューリング機械におけるRPとCo-RPの交差でもあります。このことは、RPに属するアルゴリズムとCo-RPに属するアルゴリズムを活用して、特定の問題を効率よく解決できることを意味します。具体的には、RPのアルゴリズムAが「YES」と返す場合、その解は正しいとされ、Co-RPのアルゴリズムBが「NO」を返す場合も同様です。いずれかの機械が解を返さないとき、私たちはこのステップを繰り返すことで、平均して多項式時間内に解を見つけることが可能になります。

つまり、RPとCo-RPに属する問題は、ZPPに含まれる事実が示されています。逆に、ZPPのいずれかの問題に対して、新たなRPに属するアルゴリズムを構築し、そのアルゴリズムが修正可能な形で解を見つける様子を観察することができます。

NPとの関連性

計算複雑性理論において、クラスNP、RP、ZPPは、ある特定の集合のメンバーシップを証明する手段とも考えられています。特に、集合Xに対して検査器Vを設計することで、Vが受理する条件を明確に定義できます。この検査器は、Xに属する場合は正しい証拠を用意し、属さない場合は正しく受理しないよう設計されています。

ZPPの特性を通じて、無作為に選択された文字列がその証拠として機能する点も注目に値します。これにより、ZPPはメンバーシップに対する証拠を持ち、特定のケースにおいてその証明過程が重要な役割を果たします。

他のクラスとの比較

ZPPはRPおよびCo-RPに含まれていることが確認されています。また、複雑性理論において、クラスPはZPPに完全に包含されると考えられています。これはP=ZPPと仮定することもできますが、まだこの関係については明確な証拠は存在していません。

異なる複雑性クラスとZPPの関係は、特にBPPとの対比で理解が深まります。BPPは証拠を必要とせず、必要があれば追加で証拠が存在することが期待されます。一方でZPPは証拠が無作為に選ばれても正しく受理される可能性がある、という点が特徴的です。

ZPPのさらなる研究が進む中で、P=ZPPやZPPがEXPTIMEであるかどうかといった問題は、依然として議論の余地を残しています。今後の研究にも期待が寄せられています。

もう一度検索