円運動

円運動：等速円運動と非等速円運動

円運動とは、物体の運動軌道が円を描く運動のことです。円運動には、速度が一定の等速円運動と、速度が一定ではない非等速円運動があります。本稿では、これらの運動について詳細に解説します。

等速円運動

等速円運動は、物体の速度の大きさが一定で、運動方向が常に変化する円運動です。このとき、物体には常に円の中心方向に働く向心力が作用しています。

運動方程式: xy平面上で原点Oを中心とする半径rの円運動を考える。時刻tにおける物体の位置ベクトルをr=(x,y)とすると、x、y座標は以下のように表されます。

x = rcosθ
y = rsinθ

ここで、θはx軸と位置ベクトルとのなす角（位相）です。角速度ωを用いると、θ = ωt + α(αは初期位相)と表せます。角速度ωは一定値です。

速度ベクトルv=(vx,vy)は、位置ベクトルの時間微分として求められます。

vx = -rωsinθ
vy = rωcosθ

速度の大きさはv = rωです。加速度ベクトルa=(ax,ay)は速度ベクトルの時間微分として求められます。

ax = -rω^2cosθ
ay = -rω^2sinθ

加速度の大きさはa = rω^2であり、常に円の中心方向を向いています。この加速度は向心加速度と呼ばれます。

向心力: ニュートンの運動の第二法則(F=ma)より、物体に働く向心力Fは、

* F = mrω^2 = mv^2/r

と表されます。

周波数'>[周期]]と回転速度: 物体が円軌道を一周するのに要する時間を周期Tといいます。角速度ωとの関係はT = 2π/ωです。単位時間当たりの回転数を回転[[速度]fといいます。f = 1/T = ω/2πです。

振動運動との対応: 回転運動を回転面上の観測者が真横から見ると、物体は単振動しているように見えます。x座標とy座標は互いに位相が90度ずれた単振動をしています。

非等速円運動

非等速円運動では、物体の速度の大きさが一定ではありません。そのため、加速度は中心方向だけでなく、接線方向にも成分を持ちます。向心力に加え、接線方向の力を考慮する必要があります。速度vと角速度ωは一定ではありません。

速度の導出: 非等速円運動の場合も、速度ベクトルは位置ベクトルの時間微分として求められます。ただし、角速度ωが時間変化するため、速度の大きさは一定ではありません。

加速度の導出: 加速度ベクトルは速度ベクトルの時間微分として求められます。この加速度ベクトルは、向心加速度と接線加速度の合成ベクトルとなります。向心加速度は中心方向、接線加速度は速度変化の方向を向きます。

まとめ

円運動は、速度が一定である等速円運動と、速度が一定でない非等速円運動に分類されます。等速円運動では、常に中心方向に働く向心力により円運動が維持されます。非等速円運動では、向心力に加えて接線方向の力も作用します。これらの理解は、様々な物理現象を解明する上で重要です。

関連項目

回転、レシプロエンジン、運動エネルギー、タービン、水車、風力原動機

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