経路積分

経路積分（けいろせきぶん）

経路積分は、物理学者リチャード・P・ファインマンによって開発された、量子力学における重要な理論的アプローチです。しばしばファインマンの経路積分とも呼ばれます。

概要

古典力学では、ある物体の運動経路は、初期の状態が決まれば運動方程式に従ってただ一つに定まります。しかし、量子力学の世界では、量子的な不確定性が存在するため、このように特定の経路だけによって粒子の振る舞いを記述することはできません。素粒子などの量子的な粒子の運動を記述する方法はいくつかありますが、その一つが経路積分による手法です。

経路積分のアプローチでは、ある時点から別の時点への粒子の運動を考える際に、その二点を結ぶ可能性のあるすべての経路を考慮します。それぞれの経路に対して、系の物理的な性質を表す「作用」に基づいた確率振幅が割り当てられ、これらの無数の経路からの寄与をすべて足し合わせる（積分する）ことによって、最終的な結果（例えば、ある場所へ粒子が到達する確率）が得られます。

経路積分によって計算された測定値の確率分布は、シュレーディンガー方程式を解くなどの従来の量子力学の記述方法（演算子形式）で得られる結果と完全に一致します。したがって、経路積分は演算子形式と等価な理論であるとされています。

演算子形式では、系の時間的な変化が運動方程式によって記述されるのに対し、経路積分は粒子のたどる経路全体に注目し、運動の全体像を俯瞰するような視点から量子力学の問題を扱います。ファインマンは、ポール・ディラックが示した「ごく短い時間における状態間の遷移の振幅が、系のラグランジアンに関係する形で表現できる」という考え方からヒントを得て、この革新的な手法を考案しました。ファインマン自身、この方法を用いて液体ヘリウムの極低温での特殊な励起状態（ロトン）などを理論的に研究しました。

発想の源流

経路積分の根底には、古典力学の基本原理である「最小作用の原理」との関連があります。ファインマンは特に、ディラックの著作中にあった、ラグランジアンを時間積分したものである「作用」の指数関数が、量子力学的な遷移の振幅に対応するという指摘に強く触発されたと言われています。

経路積分のアイデアを視覚的に捉えるための良い例として、二重スリット実験が挙げられます。二重スリット実験では、粒子が二つのスリットのどちらかを通ってスクリーンに到達する場合、二つの経路からの波が干渉し合い、縞模様が現れます。経路積分の考え方は、このスリットを二つだけでなく、無限個に増やしていく状況を想像することに繋がります。無限個のスリットがあるということは、実質的に障害物のない空間、すなわち真空中を粒子が進む様子を、無数の可能な経路すべてを考慮して記述するということを意味します。

ファインマンは、このような無限の経路のアイデアを数学的な理論として確立しました。ただし、経路積分は物理的な実在を直接表すものではなく、計算のための形式的な手法であるという批判や、数学的な厳密性に課題があるという指摘も一部には存在します。

経路の干渉

量子力学的な系、例えば二重スリット実験のような状況では、粒子の最終的な振る舞いは古典的な予測とは大きく異なります。古典力学に基づけば、二つのスリットを通る可能性のある粒子は、それぞれのスリットに対応する場所で強く検出される（単純な確率の足し算）と考えられがちですが、実際の実験ではスクリーン上に干渉縞が観測されます。

経路積分を用いると、この干渉縞を自然に説明できます。経路積分では、それぞれの経路に対して確率「振幅」が割り当てられ、これらの複素数である振幅を足し合わせることで、干渉の効果が自動的に考慮されます。振幅の足し合わせによって、古典的な予測とは異なる量子力学的な干渉現象（干渉縞）が正確に再現されるのです。

数式的な表現

経路積分における「経路」とは、粒子の位置を時刻の関数 `q(t)` として記述したものです。ある時刻 `t_A` の位置 `q_A` から時刻 `t_B` の位置 `q_B` へ粒子が運動する場合を考えます。系の古典的なラグランジアンを `L(q, q̇, t)` とすると、その経路に沿った「作用」は `S[A,B] = ∫_{t_A}^{t_B} L(q, q̇, t) dt` と定義されます。

ファインマンは、状態Aから状態Bへ遷移する量子力学的な確率振幅が、AからBへと繋がる考えうる全ての経路について、作用の指数関数 `exp((i/ℏ)S[A,B])` を足し合わせたものとして表されることを見出しました。これを数式で表現すると、`K_{A→B} = ∫ Dq exp((i/ℏ)S[A,B])` となります。

ここで記号 `∫ Dq` は、AからBへの「経路」すべてに対する積分を意味します。これは厳密には、運動時間を多数の短い区間に分割し、それぞれの区間の終点となる位置についてすべて積分を行い、その分割数を無限にする極限として定義されます。

古典力学への対応

経路積分の理論において、プランク定数 `ℏ` をゼロに近づける極限を考えると、量子力学が古典力学に帰着するという重要な性質が再現されます。具体的には、経路積分で足し合わせる `exp((i/ℏ)S)` という項は、作用 `S` の値が変化するとその複素数の位相が激しく回転します。ℏが非常に小さい（または系がマクロでSが大きい）場合、古典的な運動経路から少しでも外れた経路では、作用Sが大きく変化するため、隣り合った経路からの寄与を表す複素数が互いに打ち消し合ってしまいます（相殺）。この相殺が起こらないのは、作用の値が停留する（ほとんど変化しない）経路、すなわち「最小作用の原理」によって定まる古典的な運動経路の周りだけです。結果として、ℏ→0 の極限では、経路積分による寄与が古典的な経路に集中し、古典力学が得られるのです。

応用例

経路積分は、素粒子物理学における場の理論の定式化に不可欠なツールであるほか、様々な分野に応用されています。例えば、第一原理分子動力学法において、非常に軽い原子核（水素など）の量子的効果を考慮する必要がある場合に、経路積分の手法が有効です。これに基づいた「第一原理経路積分分子動力学法」という手法が存在します。

経路積分は、量子力学の理解と応用において、従来の定式化とは異なる強力な視点を提供する手法であり、現代物理学において広く用いられています。
られています。

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