べき乗法

べき乗法：行列の固有値を求める反復法

べき乗法（冪乗法）とは、n×n行列の固有値の中で絶対値が最大となる固有値を数値的に求めるための反復計算手法です。この方法は、行列の累乗を計算することで、最大固有値に関連する固有ベクトルを効率的に近似的に求めることができます。

計算手順

べき乗法の基本的な手順は以下の通りです。

1. 初期ベクトルの設定: 任意の初期ベクトルx(0) を選びます。このベクトルは、後の計算において重要な役割を果たしますが、特別な条件を満たす必要はありません。
2. 反復計算: 次の式を繰り返し計算します。

x^(k) = A * x^(k-1)

ここで、A は対象となる n×n 行列、x^(k) は k 回目の反復計算後のベクトルを表します。この式は、前のステップで得られたベクトルに、行列 A を作用させることで次のベクトルを計算することを意味します。
3. 固有値の推定: 十分な回数反復計算を行った後、以下の式を用いて絶対値最大の固有値 λ₁ を推定します。

λ₁ ≈ ||x^(k)|| / ||x^(k-1)||

ここで、||x|| はベクトル x のノルム（大きさ）を表します。この式は、連続する二つのベクトルのノルムの比をとることで、最大固有値を近似的に求める方法です。

この反復計算を繰り返すことで、ベクトル x^(k) は、行列 A の絶対値最大の固有値 λ₁ に対応する固有ベクトルの方向に漸近していきます。つまり、ベクトルの向きが、最大固有値に対応する固有ベクトルの方向に近づいていきます。

収束性

べき乗法の収束性は、行列 A の固有値の分布に大きく依存します。具体的には、絶対値最大の固有値 λ₁ と、次に絶対値が大きい固有値との差が大きいほど、収束は速くなります。逆に、これらの固有値の絶対値が近い場合、収束は非常に遅くなり、多くの反復計算が必要となる可能性があります。

数学的には、行列 A の固有値を λ₁, λ₂, ..., λₙ とし、対応する固有ベクトルを u₁, u₂, ..., uₙ とすると、初期ベクトル x(0) はこれらの固有ベクトルの線形結合で表すことができます。反復計算を進めるにつれて、絶対値が最大の固有値 λ₁ に対応する項が支配的になり、他の項は相対的に小さくなっていくため、ベクトルは λ₁ に対応する固有ベクトルの方向に近づいていきます。

逆べき乗法

べき乗法と類似した手法として、逆べき乗法があります。これは、行列 A の逆行列を用いることで、絶対値が最小の固有値を求めることができます。この手法も、べき乗法と同様に反復計算に基づいており、絶対値が最小の固有値と次に小さい固有値の差が大きいほど、収束が速くなります。

欠点

べき乗法は、最大固有値と、次に大きい固有値の絶対値の差が小さい場合、収束が非常に遅くなるという欠点があります。そのため、このような状況では、より効率的な他の数値計算手法を使用する必要があります。

まとめ

べき乗法は、行列の絶対値最大の固有値を求めるための簡潔で効率的な数値計算手法です。しかし、収束速度が固有値の分布に依存するため、すべての状況において最適な手法とは限りません。具体的な問題に合わせて、適切な手法を選択する必要があります。 様々な応用分野で利用されています。

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